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Easy Elektro Start - Versuch 9

Zwei in Reih und Glied

Wir bauen die Versuchsanordnung zum Versuch 9 auf (siehe im Handbuch, Seite 18-19).

Dazu benötigen wir nachfolgende Bauteile (im Uhrzeigersinn von links nach rechts):

· 1 Stück Batteriefach Nr. 19,

· 2 Stück Leitleisten Nr. 2,

· 1 Stück Leitleiste Nr. 4,

· 1 Stück Ein-Aus-Schalter Nr. 14,

· 1 Stück Leitleisten Nr. 3,

· 1 Stück Glühlämpchen Nr. 18,

· 1 Stück Leitleisten Nr. 3,

· 1 Stück Glühlämpchen Nr. 18,

· 1 Stück Leitleisten Nr. 2,

· 1 Stück Leitleiste Nr. 7.

· 1 Stück Leitleisten Nr. 3.

Wir bauen die Schaltung zum Versuch 9 ganz professionell von links nach rechts im Uhrzeigersinn auf und verwenden dazu die Bauteile entsprechend der Reihenfolge in der obenstehenden Bauteileliste.

So wie wir in der westlichen Welt wie z.B. in Nord- und Südamerika und Europa von links nach rechts lesen und schreiben, lesen und bauen wir die nachfolgende Schaltung von links nach rechts im Uhrzeigersinn auf:

(Zum Vergrößern bitte auf das Bild klicken!)

Demzufolge befindet sich ganz links das Batteriefach Nr. 19 mit zwei 1,5 Volt Batterien vom „Mignon AA“ als Energielieferant, der Physiker, Elektriker und Elektroniker sagt dazu Spannungsquelle.

Im vorliegenden Fall setzt sich unsere Spannungsquelle aus zwei in Serie, d.h. hintereinander in Reihe geschalteten 1,5 Volt Batterien zusammen, sodass dass sich die beiden einzelnen Batterie-Spannungen U_{Batt_1} und U_{Batt_2} wie folgt addieren: U_gesamt = U_Klemmen = U_{Batt_1} + U_{Batt_2} = 1,5 V + 1,5 V = 3,0 V.

Dabei steht der Buchstabe „U“ für den Formelbuchstaben U der elektrischen Spannung U und der Buchstabe „V“ für die Größe der Spannung U, die man in Volt [V] misst. Demzufolge gehört zur elektrischen Spannung U der Formelbuchstabe „U“ und die Maßeinheit Volt [V].

Wenn man Maßeinheiten für sich allein schreibt, dann setzt man diese in eckige Klammern [V], damit keine Verwechselung mit Formelbuchstaben wie z.B. „V“ für das Volumen von geschlossenen Körpern entsteht!

Die elektrische Spannung U als treibende Kraft lässt sich also in Volt [V] messen!

Dass die elektrische Spannung U wirklich die treibende Kraft ist, physikalisch und anschaulich gesprochen, lässt sich auch beim Versuch 1 beobachten!

Du kannst nämlich eine der beiden 1,5 Volt Batterien vom „Mignon AA“ durch eine schwächere, d.h. bereits energiemäßig „verbrauchte“ Batterie im Batteriefach Nr. 19 (links im obenstehenden Bild) ersetzen.

Welche von den zwei in Serie, d.h. hintereinander in Reihe geschalteten 1,5 Volt Batterien du gegen eine schwächere auswechselst spielt dabei keine Rolle, weil diese ja hintereinander geschaltet sind:

U_gesamt = U_Klemmen = U_{Batt_1} + U_{Batt_2} = 1,5 V + 1,1 V = 2,6 V L → die Glühlampe Nr. 18 leuchtet nicht mehr so hell!

= U_Klemmen = U_{Batt_1} + U_{Batt_2} = 1,1 V + 1,5 V = 2,6 V L

Aber woher weiß ich denn, welche treibende Kraft in Form der elektrischen Spannung U_Glühlampe die Glühlampe Nr. 18 braucht, um richtig hell zu leuchten? Ganz einfach: anhand der Nenn-Betriebsdaten, die auf der Schraubfassung der Glühlampe aufgedruckt bzw. eingestempelt sind. Man kann aber auch ganz einfach anhand des Aufdrucks auf der Halterung der Glühlampe Nr. 18 nachschauen wie die Nenn-Betriebsdaten bezüglich der Spannung U und des Stroms I lauten, nämlich 3,2 V / 0,2 A, die übrigens auch auf Seite 4 des Handbuchs im Abschnitt „Elektrische Bauteile“ erwähnt werden!

So, jetzt müssen wir wieder etwas Neues hinzulernen, nämlich dass es bei der Glühlampe Nr. 18 einen elektrischen Nenn-Betriebsstrom von I_Lampe = 0,2 A gibt.

Dabei steht der Buchstabe „I“ für den Formelbuchstaben I als elektrischer Strom I, der wiederum in Ampere [A] für die elektrische Stromstärke gemessen wird. Dabei entsprechen I_Lampe = 0,2 A = 200 mA, sprich = 200 Milliampère = 200 * 1/1000 Ampère = 200 * 0,001 A = 200 * 1 mA = 200 mA.

Die einzelne Glühlampe Nr. 18 leuchtet also nur dann ganz hell, wenn die Nenn-Betriebsdaten von U_Nenn = 3,2 V und I_Nenn = 0,2 A erreicht werden! Beim Versuch 7 sind aber im Vergleich zum Versuch 1 jetzt zwei Glühlampen Nr. 18 hintereinander in Reihe geschaltet!

Da jede einzelne Glühlampe Nr. 18 über einen (Lampen-) Widerstand

R_Lampe = U_Lampe / I_Lampe = U_Nenn / I_Nenn

= 3,2 V / 0,2 A = 16 Ω

und im Versuch 7 insgesamt zwei Glühlampen Nr. 18 hintereinander in Reihe geschaltet sind, addieren sich die beiden einzelnen Teilwiderstände R_{Lampe_1} und R_{Lampe_2} wie folgt zum Gesamtwiderstand R_gesamt

R_gesamt = R_{Lampe_1} + R_{Lampe_2} = 16 Ω + 16 Ω = 32 Ω

Wie man sieht, verdoppelt sich der Gesamtwiderstand zu R_gesamt = 32 Ω, weil beide Glühlampen vom gleichen Typ sind, d.h. über die gleichen Nenn-Betriebsdaten verfügen:

R_gesamt = R_{Lampe_1} + R_{Lampe_2} = R_{Lampe_1} + R_{Lampe_1} = 2 * R_{Lampe_1} = 2 * 16 Ω = 32 Ω

Wendet man das Ohmsche Gesetz mit R = U / I → I = U / R auf die beiden Teilwiderstände der beide Glühlampen an, so folgt wegen des doppelt so großen Gesamtwiderstandes R_gesamt = 32 Ω, dass sich jetzt der Strom bzw. die Stromstärke in der Schaltung halbiert:

R_gesamt = R_{Lampe_1} + R_{Lampe_2} = R_{Lampe_1} + R_{Lampe_1} = 2 * R_{Lampe_1}

= 2 * U_{Lampe_1} / I = 2 * 3,2 V / 0,2 A = 6,4 V / 0,2 A = 32 Ω þ → Die Spannung von 6,4 V gibt es nicht wirklich!

= 2 * U_{Lampe_1} / I = 2 * 3,2 V / 0,2 A = 3,2 V * 10 A = 32 Ω þ → Die Stromstärke von 10 A gibt es nicht wirklich!

I = U / R = U_gesamt / R_gesamt = 2 * 1,5 V / 32 Ω = 3,0 V / 32 Ω = 3,0 V / 32 V/A = 0,09375 A = 93,75 mA

Merksatz für die Reihenschaltung zweier gleich großer Widerstände:

Verdoppelt sich der Gesamtwiderstand bei unverändert gleich großer Spannung so halbiert sich der Strom I !

So wie sich die beiden gleichartigen Lampenwiderstände zum Gesamtwiderstand addieren,

R_gesamt = U_gesamt / I_Lampen

R_gesamt = R_{Lampe_1} + R_{Lampe_2}

= U_{Lampe_1} / I_{Lampe_1} + U_{Lampe_2} / I_{Lampe_2} → mit I_{Lampe_1} = I_{Lampe_2} = I_Lampen

= U_{Lampe_1} / I_Lampen + U_{Lampe_2} / I_Lampen

= ( U_{Lampe_1} + U_{Lampe_2} ) / I_Lampen = U_gesamt / I_Lampen → mit U_gesamt = U_{Lampe_1} + U_{Lampe_2}

= ( U_{Lampe_1} + U_{Lampe_1} ) / I_Lampen

= 2 * U_{Lampe_1} / I_Lampen = 2 * 1,5 V / 0,09375 A = 3,0 V / 0,09375 A = 32 Ω þ

addieren sich auch die jeweiligen Teilspannungen zur Gesamtspannung: U_ges = U_{Lampe_1} + U_{Lampe_2} !

R_gesamt = U_gesamt / I_Lampen →

I_Lampen = U_gesamt / R_gesamt = ( U_{Lampe_1} + U_{Lampe_2} ) / R_gesamt

I_Lampen * R_gesamt = U_{Lampe_1} + U_{Lampe_2}

U_gesamt = U_{Lampe_1} + U_{Lampe_2} → U_{Lampe_1} = U_{Lampe_2}

= 2 * U_{Lampe_1} →

U_{Lampe_1} = U_gesamt / 2

= 3,0 V / 2 = 1,5 V þ

Wenn man zwei Widerstände R_{Lampe_1} und R_{Lampe_2} in Reihe schaltet und diese zusammen mit einer Spannungsquelle U_gesamt verbindet (siehe obenstehende Schaltung vom Versuch 7), dann spricht man von einem unbelasteten Spannungsteiler:

U_{Lampe_1} / U_gesamt = R_{Lampe_1} / R_gesamt →

U_{Lampe_1} = ( R_{Lampe_1} / R_gesamt ) * U_gesamt

= ( 16 Ω / 32 Ω ) * 3,0 V = ½* 3,0 V = 1,5 V

R_{Lampe_1} = U_{Lampe_1} / U_gesamt * R_gesamt

= 1,5 V / 3,0 V * 32 Ω = 16 Ω

Merksatz für die Reihenschaltung von Widerständen:

Bei einer Reihenschaltung mehrerer Widerstände ist die Stromstärke I_gesamt = I_{Lampe_1} = I_{Lampe_2} in allen Teilwiderständen des Spannungsteilers gleich groß!

(Bild vergrößern: auf Bild klicken! Quelle: Wikipedia)

Werfen wir in diesem Zusammenhang einen Blick in das „radio“-Praktiker-Buch „Die elektrischen Grundlagen der Radiotechnik“ von Kurt Leucht, Franzis-Verlag, 7. Auflage, Mai 1964:

Aufgabe 28

Wie groß ist die Stromstärke I in Bild 11 (siehe oben), wenn R₁ = 720 Ω, R₂ = 1,68 kΩ und R₃ = 2,44 kΩ ist? Die Spannung U sei 27,5 V. Die in der Schaltung angeschlossenen Spannungsmesser sollen vorläufig vernachlässigt werden.

Für die Reihenschaltung der drei Widerstände folgt:

R_ges = R₁ + R₂ + R₃

= 720 Ω + 1,68 kΩ + 2,44 kΩ = 0,720 kΩ + 1,68 kΩ + 2,44 kΩ = 4,84 kΩ

R = U / I →

I = U / R = U_ges / R_ges = 27,5 V / 4,84 kΩ = 5,682 mA ≈ 5,7 mA

Das Rechenergebnis I = 5,682 mA lässt sich übrigens mit dem Berechnungsprogramm „Berechne das Ohmsche Gesetz!“ ganz leicht überprüfen:

(Bild vergrößern: auf Bild klicken! Webverzeichnis | sketch_prog_03_09.ino)

Aufgabe 29

Wie groß sind die Teilspannungen in Abb. 11?

(Zum Vergrößern bitte auf das Bild klicken!)

In der Abb. 11 ist eine Reihenschaltung von drei Widerständen R₁, R₂ und R₃ zu sehen, wobei sich deren Widerstandswerte R₁ = 720 Ω, R₂ = 1,68 kΩ und R₃ = 2,44 kΩ der Aufgabe 28 entnehmen lassen.

R_ges = R₁ + R₂ + R₃

= 720 Ω + 1,68 kΩ + 2,44 kΩ = 0,720 kΩ + 1,68 kΩ + 2,44 kΩ = 4,84 kΩ (siehe Aufgabe 28)

Mittels der Spannungsteilerformel folgt für die einzelnen Teilspannungen U₁, U₂ und U₃:

U₁ / U_ges = R₁ / R_ges →

U₁ = R₁ / R_ges * U_ges

= 720 Ω / 4,84 kΩ * 27,5 V = 0,720 kΩ / 4,84 kΩ * 27,5 V = 0,720 / 4,84 * 27,5 V ≈ 4,09 V

U₂ / U_ges = R₂ / R_ges →

U₂ = R₂ / R_ges * U_ges

= 1,68 kΩ / 4,84 kΩ * 27,5 V = 1,68 / 4,84 * 27,5 V ≈ 9,55 V

U₃ / U_ges = R₃ / R_ges →

U₂ = R₃ / R_ges * U_ges

= 2,44 kΩ / 4,84 kΩ * 27,5 V = 2,44 / 4,84 * 27,5 V ≈ 13,86 V

Probe:

U_ges = U₁ + U₂ + U₃

= 4,09 V + 9,55 V + 13,86 V = 27,5 V þ

Werfen wir in diesem Zusammenhang einen weiteren Blick in das „radio“-Praktiker-Buch „Die elektrischen Grundlagen der Radiotechnik“ von Kurt Leucht, Franzis-Verlag, 7. Auflage, Mai 1964:

Aufgabe 30

Zwei Widerstände von 300 Ω und 1000 Ω sind in Reihe geschaltet. Sie liegen an einer Spannung von 35 V. Wie groß sind die Gesamtleistung und die Leistungen in den einzelnen Widerständen?

Wir wissen ja, dass ohne die Spannung U nichts geht, weil sie die treibende Kraft ist für den Potentialunterschied, d.h. dem Spannungsgefälle vom Pluspol „+“ der Energieversorgung (Batterie, Akku, Netzteil usw.) zum Minuspol „-“. Und, wenn es in der Schaltung, im Stromkreis auch einen elektrischen Verbraucher wie z.B. in Form eines Widerstandes, einer Heiz- oder Glühwendel (= Glühlampe) gibt, dann fließt beim Einschalten auch ein elektrischer Strom I .

Den Quotienten von U und I, nämlich U / I haben wir ja in Form des Ohmschen Gesetzes R = U / I bereits kennengelernt.

Und das entsprechende Pendant (= Gegenüber) zum Quotienten R = U / I gibt es auch, nämlich das Produkt von Spannung U und Strom I mit U * I, das man elektrische Leistung P = U * I nennt mit der Maßeinheit [V] * [A] = [W], [mW] oder [kW]. Dabei steht der Buchstabe „W“ für [Watt], [mW] für Milliwatt (= 1/1000 Watt) und [kW] für Kilowatt (= 1000 Watt).

Um die elektrische Leistung P = U * I berechnen zu können, bräuchten wir hier in der Aufgabe 30 noch die Angabe über den elektrischen Strom I = ? A, den wir aber noch nicht kennen!

Aber vielleicht geht es ja auch ohne die elektrische Stromstärke I? Rechnerisch zumindest!

P = U * I →

Mit R = U / I und I = U / R folgt für die elektrische Leistung P:

P = U * I = U * U / R

P = U² / R

P_ges = (U_ges)² / R_ges = (U_ges)² / ( R₁ + R₂ )

= (35 V)² / ( 300 Ω + 1000 Ω ) = 1 225 V² / 1300 Ω = 1 225 V² / 1300 V/A = 1 225 / 1300 VA ≈ 0,94 W

P₁ = (U₁)² / R₁ →

Mit der Spannungsteilerformel U₁ / U_ges = R₁ / R_ges → U₁ = R₁ / R_ges * U_ges folgt durch Einsetzen:

P₁ = (U₁)² / R₁ = ( R₁ / R_ges * U_ges )² / R₁

= ( 300 Ω / 1300 Ω * 35 V )² / 300 Ω = 65,237 V² / 300 Ω = 110,25 V² / 300 V/A = 0,2175 W ≈ 0,22 W

P₂ = (U₂)² / R₂ = ( R₂ / R_ges * U_ges )² / R₂

= ( 1000 Ω / 1300 Ω * 35 V )² / 1000 Ω = 724,85 V² / 1000 Ω = 724,85 V² / 1000 V/A = 0,725 W ≈ 0,73 W

Probe:

P_ges = P₁ + P₂ = 0,22 W + 0,73 W = 0,95 W þ

Obwohl wir bei der Berechnung der Einzelleistungen P₁ und P₂ ganz ohne die Stromstärke I ausgekommen sind, wäre es trotzdem mal interessant zu wissen, wie groß denn diese ist:

I = P_ges / U_ges = 0,95 W / 35 V = 0,95 VA / 35 V = 0,0269 A ≈ 27 mA

Probe:

I = U_ges / R_ges = 35 V / 1300 Ω = 35 V / 1300 V/A = 0,0269 A ≈ 27 mA

Selbstverständlich lässt sich die Aufgabe 30 auch ohne Spannungsteilerformel auf dem herkömmlichen Weg rechnen:

R = U / I → I = U / R →

I_{U_Teiler} = U_ges / R_ges

= U_ges / ( R₁ + R₂ )

= 35 V / (300 Ω + 1000 Ω ) = 35 V / 1300 Ω = 35 V / 1300 V/A = 0,0269 A = 26,9 mA ≈ 27 mA þ

U₁ = I_{U_Teiler} * R₁ = 0,0269 A * 300 Ω = 0,0269 A * 300 V/A = 8,07 V

P = U * I →

P₁ = U₁ * I_{U_Teiler} = 8,07 V * 0,0269 A = 0,217 VA ≈ 0,22 W þ (siehe weiter oben!)

U₂ = I_{U_Teiler} * R₂ = 0,0269 A * 1000 Ω = 0,0269 A * 1000 V/A = 26,9 V

P = U * I →

P₁ = U₂ * I_{U_Teiler} = 26,9 V * 0,0269 A = 0,7236 VA ≈ 0,72 W þ (siehe weiter oben!)

P = U * I →

P_ges = U_ges * I_{U_Teiler} = 35 V * 0,0269 A = 0,942 VA ≈ 0,94 W þ (siehe weiter oben!)

Nun stellt sich die Frage, welche Aufgabenlösung die professionellere ist, diejenige mit der Spannungsteilerformel oder diejenige ohne?

Die Aufgabenlösung mit der Spannungsteilerformel ist die professionellere, weil der Anwender zu verstehen gibt, dass er die Spannungsteilerformel kennt und weiß, wie sich die Leistung P₁, P₂ und P_ges ohne Umwegrechnung über die Stromstärke I_{U_Teiler} berechnen lässt!

Aber es gibt natürlich auch noch einen weiteren Unterschied, weshalb die Aufgabenlösung mit der Spannungsteilerformel ist die professionellere ist! Und zwar einen praktischen Unterschied!

Bei der Aufgabenlösung mit der Spannungsteilerformel muss man die Schaltung mit den beiden Widerständen in Reihenschaltung (= Spannungsteiler) nicht auftrennen und die Stromstärke I_{U_Teiler} messen, um die Rechenergebnisse der Leistungsberechnung überprüfen zu können!

In der Praxis ist es also immer vorteilhaft, wenn man beide Lösungswege mit und ohne Spannungsteilerformel beherrscht, weil man nur so einschätzen kann, welcher Lösungsweg der besser, professionellere ist! -

Da wir es bei der Aufgabe 30 und deren Lösung jetzt auch mit der Berechnung der Stromstärke I_{U_Teiler} zu tun haben, ist es an der Zeit, dass wir unser Berechnungsprogramm „sketch_prog_03_09.ino“ aus dem Versuch 1 entsprechend erweitern, sodass sich mit diesem auch die Stromstärke I_{U_Teiler} messen lässt! [ weiterlesen ]

(Bild vergrößern: auf Bild klicken! Webverzeichnis | sketch_prog_03_08.ino)

Wie man im obenstehenden Screenshot sieht, reduziert sich die Spannung U_Pin A0 am Analogeingang „Pin A0“ plötzlich von U_Pin A0 = 2,57 V auf nur noch U_Pin A0 = 2,37 V! Fragt sich nur weshalb? Was ist plötzlich passiert? Wie kommt es zu dem Spannungssprung von ∆U_Pin A0 = 0,20 V mit U_{Lampe 2} = U_{Lampe 1} - ∆U_Pin A0 = 2,57 V - 0,20 V = 2,37 V ?

Um das Rätsel lösen zu können, brauchen wir noch eine weitere Information! Aber welche?

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