[ Easy Elektro Start ] [ Seitenende ] [ Programmieren 12 ] [ Versuch 1 ] [ Versuch 9 ]

Easy Elektro Start - Versuch 12

Ein Strom für zwei Lampen

Wir bauen die Versuchsanordnung zum Versuch 12 auf (siehe im Handbuch, Seite 20).

Dazu benötigen wir nachfolgende Bauteile (im Uhrzeigersinn von links nach rechts):

· 1 Stück Batteriefach Nr. 19,

· 1 Stück Leitleisten Nr. 2,

· 1 Stück Leitleiste Nr. 4,

· 1 Stück Leitleisten Nr. 3,

· 1 Stück (Strom-) Messgerät 56

· 1 Stück Leitleisten Nr. 2,

· 1 Stück Leitleisten Nr. 4,

· 1 Stück Leitleisten Nr. 2,

· 1 Stück Ein-Aus-Schalter Nr. 14,

· 1 Stück Leitleisten Nr. 2,

· 1 Stück Glühlämpchen Nr. 18,

· 1 Stück Leitleisten Nr. 3,

· 1 Stück Glühlämpchen Nr. 18,

· 1 Stück Leitleisten Nr. 2,

· 1 Stück Leitleiste Nr. 7.

· 1 Stück Leitleisten Nr. 2.

Wir bauen die Schaltung zum Versuch 12 ganz professionell von links nach rechts im Uhrzeigersinn auf und verwenden dazu die Bauteile entsprechend der Reihenfolge in der obenstehenden Bauteileliste.

So wie wir in der westlichen Welt wie z.B. in Nord- und Südamerika und Europa von links nach rechts lesen und schreiben, lesen und bauen wir die nachfolgende Schaltung von links nach rechts im Uhrzeigersinn auf:

(Zum Vergrößern bitte auf das Bild klicken!)

Wie man im obenstehenden Bild mit dem Schaltungsaufbau sieht, gilt es beim (Strom-) Messgerät 56 unbedingt darauf zu achten, dass dieses mit der richtigen Polarität angeschlossen wird! Dabei befindet sich der Pluspol „+“ des Drehspulmessgeräts auf der rechten Seite (siehe grüner Kasten).

Außerdem gilt es zu beachten, dass der Schiebeschalter am (Strom-) Messgerät 56 nach rechts gestellt wird, sodass sich mit diesem Ströme bis max. 1 Ampere messen lassen!

Da die Stromstärke I wegen der Reihenschaltung aller Bauelemente (= Strommessgerät, zwei Glühlampen 18 usw.) im Stromkreis an jeder Stelle gleich groß ist, spielt es im Prinzip normalerweise keine Rolle an welcher Stelle man das (Strom-) Messgerät 56 in die Schaltung einbaut.

Weil es aber hier im Versuch 12 darum geht, den Innenwiderstand R_{i Mess} des (Strom-) Messgerätes 56 zu bestimmen und dazu der Spannungsabfall parallel zum Strommessgerät gemessen werden muss, muss sich das Messgerät im oberen Teil der Schaltung, d.h. im grünen Stromzuführungszweig vor dem Ein-/Ausschalter 14 befinden, da der untere Teil der Schaltung mit dem roten Stromrückführungszweig dem Masseanschluss „GND“ („┴“) vorbehalten bleibt:

(Zum Vergrößern bitte auf das Bild klicken!)

Diesbezüglich muss man wissen, dass sich alle Ein- und Ausgänge des „Arduino UNO“ stets auf eine gemeinsame Masse „GND“ („┴“) beziehen bzw. ein gemeinsames Massepotential erfordern!

Demzufolge lässt sich z.B. mit den beiden A/D-Wandlern an den Ports „Pin A0“ und „Pin A1“ wider Erwarten kein potentialfreies Spannungsmessgerät ( = Voltmeter) programmieren, das ohne den gemeinsamen Masseanschluss „GND“ („┴“) auskommt.

Früher als es mit der Erfindung des Transistors anfangs nur bipolare PNP-Transistoren aus Germanium gab, bezog sich das Massepotential „┴“ stets auf den Pluspol „+“ der Stromversorgung des Batteriesatzes.

Als dann später die unipolaren NPN-Transistoren aus Silizium die Germanium-Transistoren ablösten, weil sich diese einfacher und kostengünstiger herstellen ließen, bezog sich das Massepotential „┴“ stets auf den Minuspol „-“ der Stromversorgung des Batteriesatzes.

Und da heutzutage alle integrierten Schaltkreise (ICs), Chips, Mikrocontroller und Mikroprozessoren aus Silizium-Transistoren in der Größe von einigen Nanometern ( = 10^-9 m = 1 Milliardstel Meter) bestehen, die sich nur noch unter dem Elektronenmikroskop betrachten lassen, hat sich auch das negative Massepotential „┴“, das sich stets auf den Minuspol „-“ der Stromversorgung bezieht, durchgesetzt! Trotzdem muss man beim Zusammenschalten unterschiedlicher Elektronikgeräte stets auf das eventuell unterschiedlich gepolte Massepotential „┴“ achten!

Wie in der obenstehenden Schaltung und deren Verkabelung zum Versuch 12 zu sehen ist, wird über den analogen Eingang des A/D-Wandlers vom Port „Pin A0“ des „Arduino UNO“ die Spannung U_{Pin A0} = U_5V = 4,97 V am Pluspol „+“ (siehe grüner Kasten im obenstehenden Bild zum Versuchsaufbau) des (Strom-) Messgerätes 56 gemessen und vom Programm sketch_prog_12_02.ino wie folgt im Arduino-Konsolefenster angezeigt:

(Bild vergrößern: auf Bild klicken! Webverzeichnis | sketch_prog_12_02.ino)

Über den analogen Eingang des A/D-Wandlers vom Port „Pin A1“ des „Arduino UNO“ messen wir die Spannung U_Pin A1 = 4,82 V am Minuspol „-“ des (Strom-) Messgerätes 56, sodass sich der Spannungsabfall ∆U_M56 wie folgt berechnet:

∆U_M56 = U_5V - U_Pin A1 = U_{Pin A0} - U_Pin A1 = 147,80 mV þ

In Verbindung mit dem anhand eines hochwertigen Multimeters gemessenen Laststroms von I_Last = I_M56 = 165,9 mA berechnet sich nun der Innenwiderstand R_M56 des Messgeräts 56 wie folgt:

R_M56 = ∆U_M56 / I_M56

= 147,80 mV / 165,9 mA = 147,80 V / 165,9 A = 0,890898 Ω ≈ 891 mΩ

= 890,9 mΩ / 147,80 mV

= 6,02774 Ω/V ≈ 6,03 Ω pro 1 V → geringe Messempfindlichkeit → niedriger Innenwiderstand

I_M56 = ∆U_M56 / R_M56

= 147,80 mV / 890,9 mΩ = 147,80 V / 890,9 Ω = 0,16424 A ≈ 164 mA

R₁₊₂ = R₁ + R₂

= ( U_ges - U_M56 ) / I_M56 = ( U_5V - U_M56 ) / I_M56

= ( 4,97 V – 0,1478 V ) / 0,164 A = 4,82 V / 0,164 A = 29,39 Ω ≈ 29,4 Ω

Frage:

Worin besteht nun der praktische Nutzen der Messempfindlichkeitsangabe von 6,03 Ω pro 1 V = 6,03 Ω/V?

Wie bereits gesagt wurde, muss das (Strom-) Messgerätes 56 in den Stromkreis eingebracht werden, damit dieses die Stromstärke I_Mess = I_M56 = 164 mA messen kann. Dabei entsteht wegen des Innenwiderstandes R_M56 = 6,03 Ω ein entsprechender Spannungsabfall von ∆U_M56 = 147,80 mV, der mit dem Programm sketch_prog_12_02.ino gemessen wurde.

Wenn man also die Messempfindlichkeitsangabe von 6,03 Ω/V mit der aktuell gemessenen Spannung ∆U_M56 = 147,80 mV multipliziert, dann folgt:

R_M56 = 6,03 Ω/V * 147,80 mV = 6,03 Ω/V * 0,1478 V = 0,8912 Ω ≈ 891 mΩ (siehe oben!)

Gemäß des Ohmschen Gesetzes und der Formel R_M56 = ∆U_M56 / I_M56 ist der Quotient ∆U_M56 / I_M56 und somit der Widerstand R_M56 stets konstant, sodass ein größerer Mess- und Laststrom I_Last durch die konstanten Widerstände des Spannungsteilers auch stets zu einem größeren Spannungsabfall ∆U_M56 am (Strom-) Messgerätes 56 und zu einem größeren Zeigerausschlag führen:

R_M56 = ( U_ges - U_R1+R2 ) / I_M56 = ( U_{Pin A0} - U_{Pin A1} ) / I_M56 =

= 147,80 mV / 164 mA = 147,80 V / 164 A = 0,90122 Ω ≈ 901 mΩ

= ∆U_M56 / I_M56

= 147,80 mV / 0,164 A = 147,80 mV / 164 mA = 0,90122 Ω ≈ 901 mΩ (siehe oben!)

Wie man im nachfolgenden Bild des Messgerätes 56 und anhand des Zeigerausschlags für die Strommessung sieht, wird in der unteren Skala eine Stromstärke von ca. 180 mA angezeigt. Das sind +9,76 % mehr als mit dem höherwertigen Multimeter gemessenen Laststroms von I_Last = I_M56 = 164 mA!

Dazu muss man wissen, dass man mit einem analogen Drehspulmessinstrument wegen der Messgenauigkeit stets nur Spannungs- oder Strommessungen im oberen Drittel der Skala durchführen sollte, da sich ansonsten zu große Messungenauigkeiten einstellen! Anhand der Skalenunterteilung sieht man auch, dass die Messwertanzeige über den gesamten Skalenbereich nicht gleichmäßig, d.h. nicht linear verläuft:

(Zum Vergrößern bitte auf das Bild klicken!)

(Quelle: „Die elektrischen Grundlagen der Radiotechnik“ von Kurt Leucht, 8. Auflage 1966, Franzis-Verlag)

Wir wissen jetzt, dass der Spannungsabfall ∆U_M56 am (Strom-) Messgerät 56 sehr klein ausfällt:

∆U_M56 = U_5V - U_Pin A1 = U_{Pin A0} - U_Pin A1 = 108,39 mV

Ganz im Gegensatz übrigens zur Stromstärke I_Mess = I_R1+R2 = 164,4 mA, die mit einem hochwertigen Multimeter als Strommessgerät gemessen wurde, um auf diese Weise den Messwiderstand R_Mess des (Strom-) Messgerätes 56 genauer bestimmen zu können:

(Bild vergrößern: auf Bild klicken! Webverzeichnis | sketch_prog_12_03.ino)

Wir rechnen kurz handschriftlich nach, um sicherzustellen, dass wir bei der Programmierung keinen Rechenfehler gemacht haben:

∆U_M56 = U_5V - U_Pin A1 = U_{Pin A0} - U_Pin A1 = 108,39 mV

R_Mess = U_Mess / I_Mess = ∆U_M56 / I_R1+R2

= 108,39 mV / 164,40 mA = 108,39 mV / 164,40 mA = 0,65931 Ω ≈ 659,3 mΩ þ

Diesbezüglich stellt sich die Frage, wie groß die Stromstärke I_Mess ist, wenn am (Strom-) Messgerät 56 eine Messspannung von U_Mess = 1,0 V anliegt:

I_Mess = U_Mess / R_Mess

= 1,0 V / 0,6593 Ω = 1,0 V / 0,6593 V/A = 1,517 A ≈ 1,52 A

Da das (Strom-) Messgerät 56 nur Stromstärken von bis zu 1 A messen kann, müsste man die Messspannung von U_Mess = 1,0 V entsprechend verringern:

U_Mess = I_Mess * R_Mess

= 1,0 A * 0,6593 Ω = 1,0 A * 0,6593 V/A = 0,6593 V = 659,3 mV

Die Messspannung U_Mess = 1,0 V lässt sich aber nicht einfach so verringern, da sie ja eine Funktion der Stromstärke I_Mess und des Messwiderstandes R_Mess ist!

Demzufolge darf man mit dem (Strom-) Messgerät 56 nur Stromstärken bis zu 1 A messen, damit es keinen Schaden nimmt. Und bei Stromstärken bis zu 1 A würden sich dann auch nur Messspannungen bis zu U_Mess = 659,3 mV einstellen, sodass die Messspannung eben auch ein Maß für die zu messende Stromstärke I_Mess bis zu 1 A ist!

Wenn man also auf Nummer sicher gehen will und das (Strom-) Messgerät 56 vor zu großen Stromstärken von mehr als 1 A schützen will, dann müsste man in den Stromkreis eine entsprechend dimensionierte Schmelzsicherung einbauen, die bei Stromstärken von mehr als 1 A ganz einfach durchbrennt! Dabei müsste es sich dann auch um eine Schmelzsicherung vom Typ „flink“ handeln, die in ihrem Inneren nicht nur einen speziellen Schmelzdraht hat, sondern auch noch eine kleine Spannfeder, die im Falle eines Überstromes den Schmelzdraht beim Schmelzen schnell auseinander zieht und diesen dabei zerfetzt. Schnell reagierende Schmelzsicherungen erkennt man nicht nur an der kleinen Spannfeder im Inneren, sondern auch an dem Aufdruck „F“ für flinkes Reagieren, d.h. Schmelzen. -

Bei Drehspulmessgeräten wie dem (Strom-) Messgerät 56 unterscheidet man bei der Messung und der Skalenanzeige zwischen dem angezeigten Messwert als solchem und dem Messbereichsendwert. Dabei ist der Messbereichsendwert häufig der Bezugswert für die Berechnung der Fehlergrenze aus dem Klassenzeichen, wenn eine Genauigkeitsklasse zugrunde gelegt wird.

Das nachfolgende hochwertige Vielfachmessgerät (= Multimeter mit Drehspulmessinstrument) „Supertester 680 R“ mit Spiegelskala des italienischen Messgeräteherstellers I.C.E. aus den 1980er Jahren

(Zum Vergrößern bitte auf das Bild klicken!)

hat eine Messgenauigkeit von 2 % bei Vollausschlag und eine Messempfindlichkeit von 20 kΩ/V für Gleichspannung „=“ (siehe Angabe „V= 20 000 Ω/V“ links auf der Skala im obenstehenden Bild).

Dabei beträgt der kleinste Strommessbereich gleich 50 µA Gleichstrom „=“ bei Vollausschlag, der mit dem kleinsten Spannungsmessbereich von 100 mV Gleichspannung „=“ identisch ist!

Demzufolge berechnet sich der (Gleichstrom-) Spulenwiderstand R_Spule der kleinen Messspule im Drehspulmesswerk wie folgt:

R_Spule = U_Spule / I_Spule

= U_Mess / I_Mess = 100 mV / 50 µA

= 100 * 10³ V / 50 * 10^{-6 3} A = 2 * 10³ Ω = 2 000 Ω = 2 kΩ pro 100 mV

Für den Quotienten 2 kΩ / 100 mV folgt:

2 kΩ / 100 mV = 2 kΩ * 10 / 100 mV * 10 = 20 kΩ / 1000 mV = 20 kΩ / 1 V

Demzufolge handelt es sich bei dem Quotienten 2 kΩ / 100 mV um die Messempfindlichkeit von 20 kΩ/V für Gleichspannung „=“:

Messempfindlichkeit → 20 kΩ/V * 100 mV Vollauschlag = 20 kΩ/V * 0,100 V = 2 kΩ → Messwiderstand R_Mess

Jetzt wissen wir, dass es sich bei dem Produkt von Messempfindlichkeit * Messspannung U_Mess um den jeweiligen Messwiderstand R_Mess handelt!

>> Um ein Drehspul-Spannungsmessgerät an den gewünschten Messbereich anzupassen, wird es mit einem geeigneten Vorwiderstand R_v in Reihe geschaltet. Von der bei Messbereichsendwert messbaren Spannung U_MBE entfällt dann ein Teil U_max auf das Messwerk, der Rest U_v = U_MBE - U_max auf den Vorwiderstand.

Beispiel

Das Messwerk habe einen Widerstand R_m = 750 Ω und schlage beim Maximalstrom I_max = 200 µA bis zum Endwert der Skale aus. Es soll in einem Spannungsmessgerät für den Messbereich U_MBE = 10 V verwendet werden. Über dem Messwerk liegt bei Vollausschlag die Spannung U_max = R_m · I_max = 750 Ω · 0,200 mA = 150 mV. Es muss also U_v = 10,00 V – 0,15 V = 9,85 V am Vorwiderstand liegen. Da auch durch ihn der Strom von 200 µA fließt, berechnet sich hieraus R_v = U_v/I_max = 9,85 V/0,2 mA = 49,25 kΩ. Der Gesamtwiderstand der Reihenschaltung (Innenwiderstand R_U des Messgerätes) beträgt dann R_U = R_v + R_m = 50,00 kΩ.

Bei Multimetern auf Drehspul-Basis ist I_max meistens eine für alle Messbereiche gültige Konstante, oder andersherum ist der Innenwiderstand in jedem Bereich ein anderer, – umso größer, je größer der Messbereich. Zur leichten Berechnung des Innenwiderstandes wird bei Spannungsmessern ein

spannungsbezogener Widerstand ρ = 1 / I_max angegeben und zwar in Ω/V (Ohm pro Volt), ebenfalls als Konstante für alle Messbereiche. Diese Angabe ist mit dem jeweiligen Messbereichsendwert zu multiplizieren, um den tatsächlichen Innenwiderstand zu erhalten.

Beispiel

Das oben berechnete Messgerät hat einen Messwerkwiderstand von 750 Ω bei einem Messbereich von 150 mV. Daraus folgt ρ = 750 Ω / 150 mV = 5,00 kΩ / V. Wenn man es für einen Messbereich von 10 V einsetzt, hat es demnach den Widerstand R_U = ρ · U_MBE = 5 kΩ / V * 10 V = 50 kΩ, wie oben auf anderem Wege berechnet.

Der Umstand, dass durch das Spannungsmessgerät der für die Messung bestimmende Strom fließt, führt dazu, dass jede Messung die ursprünglichen Verhältnisse am Messobjekt verfälscht, da zur Messung ein (zusätzlicher) Strom entnommen wird. Daher sollte dieser möglichst klein gehalten werden, d. h. der Widerstand des Spannungsmessers R_U sollte möglichst hoch sein. << (Wikipedia)

Bei dem Messgerät 56 handelt es sich um ein analoges Multimeter (= Vielfachmessinstrument mit Drehspulmessinstrument), da sich mit diesem je nach Stellung des Schiebeschalters „3 V“ (links) oder „1 A“ (rechts) Spannungen bis 3 V oder Ströme bis 1 A messen lassen.

Da wir von dem Messgerät 56 leider keine technische Daten vorliegen haben, müssen wir uns etwas einfallen lassen, wie man den Innenwiderstand R_i = R_Mess herausfinden kann.

Da sich mit dem Messgerät 56 ja auch Spannungen bis 3 V messen lassen bietet es sich an, dass wir die sogenannte Leerlaufspannung der beiden in Serie geschalteten 1,5 Volt Batterien vom Typ „Mignon AA“ im Batteriefach 19 messen. Dabei messen wir mit einem hochwertigen Spannungsmessgerät (= Digitalvoltmeter) parallel zu den Anschlussklemmen des Messgerätes 56 eine Spannung U_M56 = 2,48 V, sodass der rote Messzeiger bis kurz vor den rechten Skalenrand ausschlägt.

Bei einer weiteren Spannungsmessung messen wir mit dem ebenfalls hochwertigem Strommessgerät (= Digitalamperemeter) den Stromverbrauch des analogen Messgerätes 56 mit einer Stromstärke von I_M56 = 0,274 mA = 274 µA, sodass wir nun den Drehspulwiderstand R_Dreh der Magnetdrehspule des Drehspulmesswerkes wie folgt berechnen können:

R_Dreh = U_Dreh / I_Dreh = U_M56 / I_M56

= 2,48 V / 274 µA = 2,48 V / 274 * 10^-6 A = 0,0090511 * 10⁶ V/A = 9,051 * 10³ Ω = 9,051 kΩ þ

Für den Quotienten der Messempfindlichkeit 9,051 kΩ / 2,48 V folgt:

9,051 kΩ / 2,48 V = 9,041 * 10³ Ω / 2 480 * 10^-3 V = ( 9,051 / 2 480 ) * 10³ * 10⁺³ Ω/V = ( 9 051 / 2 480 ) * 10³ Ω/V

= 3,6496 * 10³ Ω/V = 3,6496 kΩ/V ≈ 3,65 kΩ / 1,0 V → spannungsbezogener Widerstand ρ = 1 / I_max

Dabei gilt der spannungsbezogener Widerstand ρ [ Ω / V ] als Konstante für alle Messbereiche!

Probe:

Demzufolge berechnet sich die Stromstärke I_Dreh durch das Messgerät 56 wie folgt:

Spannungsbezogener Widerstand ρ = 1 / I_max →

I_max = 1 / ρ

= 1 / 3,65 kΩ/V = 0,27397 mA ≈ 274 µA þ (siehe oben)

U_Dreh = U_M56 = 2,48 V

R_Dreh = U_Dreh / I_Dreh

= 2,48 V / 0,274 mA = 2 480 mV / 0,274 mA = 9 051,095 Ω ≈ 9,051 kΩ þ (siehe oben)

= spannungsbezogener Widerstand ρ * Messspannung U_Dreh

= 3,65 kΩ/V * 2,48 V = 3,65 * 10³ Ω/V * 2 480 * 10^-3 V = 9 052 Ω = 9,052 kΩ ( … bezogen auf 2,48 V!)

I_Dreh = U_Dreh / R_Dreh

= 2,48 V / 9,05 kΩ = 2,48 V / ( 9,05 * 10³ Ω ) = 0,274033 * 10^-3 A = 0,274 mA = 274 µA þ (siehe oben)

Jetzt kennen wir den spannungsbezogenen Widerstand ρ = 1 / I_max mit

· ρ = 1 / I_max = 9,05 kΩ / 2,48 V mit I_max = 274 µA und mit

· ρ = 1 / I_max = 3,65 kΩ / 1,0 V mit ebenfalls I_max = 274 µA.

Der zweite Wert ρ = 1 / I_max = 3,65 kΩ / 1,0 V leitet sich vom ersten Wert ρ = 1 / I_max = 9,05 kΩ / 2,48 V ab, indem der Quotient 9,05 kΩ / 2,48 V einfach ausdividiert wurde!

Man könnte nun noch einen dritten Wert ρ = 1 / I_max = 10,95 kΩ / 3,0 V erstellen, der sich vom zweiten Wert durch Multiplizieren mit dem Faktor 3 errechnet.

Allen drei Werten ist gemein, dass sie vermeintlich, d.h. offensichtlich über die selbe Stromstärke I_Dreh = 274 µA des Drehspulmesswerkes verfügen:

I_Dreh = U_Dreh / R_Dreh = 2,48 V / 9,05 kΩ = 1,0 V / 3,65 kΩ = 3,0 V / 10,95 kΩ = 274 µA

Mathematisch geht das zwar in Ordnung, nicht jedoch elektrotechnisch, da das Drehspulmesswerk nämlich bei der mit ganz dünnem Kupferdraht gewickelten Messspule über einen konstanten Wicklungswiderstand, der dem Messspulenwiderstand entspricht, verfügt. Demzufolge reagiert die kleine Messspule, die auf dem drehbaren Spulenrahmen aufgewickelt ist, beim Erhöhen der Messspannung mit einem entsprechend stärkeren Ausschlag des Messzeigers als Folge der größeren Stromstärke bei gleichzeitig nach wie vor konstantem Wicklungswiderstand der Messspule: ∆I_Dreh = f ( ∆U_Dreh ) mit R_Dreh = konstant!

Damit die Elektrotechnik und das Ohmsche Gesetz wieder in gewohnter Weise funktionieren und sich ordnungsgemäß anwenden lassen, dürfen wir nur mit dem einen spannungsbezogenen Widerstand ρ = 1 / I_max = 9,05 kΩ / 2,48 V mit I_max = 274 µA, der durch Messen von Spannung und Stromstärke ermittelt wurde, weiter arbeiten! Ferner dürfen wir den Quotienten 9,05 kΩ / 2,48 V nicht ausdividieren, d.h. hoch oder runter interpolieren, insbesondere den Widerstandwert = 9,05 kΩ nicht dem Messwiderstand der Messspule gleichsetzen, da dieser stets konstant ist!

Trotzdem deutet der gemessene und berechnete spannungsbezogene Widerstand ρ = 1 / I_max = 9,05 kΩ / 2,48 V mit I_max = 274 µA schon jetzt darauf hin, dass sich bei Vollausschlag des Spannungsmessers und dem Messbereichsendwert von U_{Dreh, max} = 3,0 V eine Stromstärke von 300 µA bis zu 330 µA einstellt:

R_Dreh = spannungsbezogener Widerstand ρ * Messbereichsendwert in Volt

= 9,05 kΩ / 2,48 V * 3,0 V = 10,948 kΩ → neuer, spannungsbezogener Widerstand ρ = 10,95 kΩ / 3,0 V

I_Dreh = U_Dreh / R_Dreh

= 3,0 V / 10,95 kΩ = 0,27397 A = 274 µA

Die Widerstandsmessung mit einem hochwertigen Widerstandsmessgerät (= digitales Multimeter) hat einen Widerstandswert von R_M56 = 8,94 kΩ ≈ 9 kΩ ergeben, sodass sich bei einem Messbereichsendwert von U_M56 = 3,0 V ein

· neuer, spannungsbezogener Widerstand ρ = 9 kΩ / 3,0 V mit I_max = 300 µA

einstellt.

[ weiter ] zur Programmierung der „Sketch“-Programme „sketch_prog_12_01.ino“ und „sketch_prog_12_02.ino“. -

Stromstärkemessung mit dem Messgerät 56

Jetzt wo die Spannungsmessung hinreichend erörtert wurde, geht es nachfolgend um die Stromstärkemessung, schließlich lässt sich das Messgerät 56 mittels Schiebeschalter von der 3,0 V Spannungsmessung auf die 1,0 A Stromstärkemessung umschalten!

Da bei der Stromstärkemessung das gleiche Messwerk mit der kleinen Messspule zum Einsatz kommt, darf bei diesem bei 1,0 A Vollausschlag (= Messbereichsendwert) die Spulenspannung von 3,0 V bzw. die Spulenstromstärke von I_max = 300 µA nicht überschritten werden!

Wenn wir also, wie bereits geschehen, mit dem „Arduino UNO“ und dem „Sketch“-Programm „sketch_prog_12_03.ino“ eine Stromstärkemessung beim Versuch 12 „Ein Strom für zwei Lampen“ durchführen und dabei die Stromstärke von I_Mess = I_R1+R2 = 164,4 mA messen, dann wird ein Großteil des Messstromes Geräte intern an der kleinen und empfindlichen Messspule vorbei geleitet, wobei sich der Anwender um nichts zu kümmern braucht und auch vom der Stromumleitung um die Messspule herum nichts mitbekommt!

Die Stromumleitung um die Messspule herum wird bei der Stromstärkemessung durch einen sogenannten engl. „Shunt“ vorgenommen. Dabei handelt es bei diesem um einen speziellen Parallelwiderstand mit geringer Widerstandstoleranz von weniger als 5 % Ungenauigkeit, der zur Messspule parallel geschaltet wird:

I_ges = I_Mess = I_Shunt + I_Dreh = 164,4 mA →

I_Shunt = I_Mess - I_Dreh

= 164,4 mA - 300 µA = 164,4 mA - 0,3 mA = 164,1 mA

R_Shunt = U_Shunt / I_Shunt

= U_Mess / I_Shunt

= 108,39 mV / 164,1 mA = 0,6605 Ω ≈ 660 mΩ

R_Dreh = U_Mess / I_Dreh

= 108,39 mV / 300 µA = 108,39 mV / 0,3 mA ≈ 361 Ω

R_ges = U_Mess / I_ges

= 108,39 mV / 164,4 mA = 0,6593 Ω ≈ 659 mΩ

So, jetzt werden wir wegen des Messgeräts 56 und der Stromstärkemessung bereits mit der Parallelschaltung von Widerständen konfrontiert. Was aber ist eine Parallelschaltung, was soll man sich darunter vorstellen?

>> Eine Parallelschaltung von Widerständen ist dann gegeben, wenn der Strom sich an den Widerständen aufteilt und an allen Widerständen die gleiche Spannung anliegt:

An Punkt A teilt sich der Strom auf und an Punkt B fließt er wieder zusammen. Zwischen Punkt A und Punkt B liegt die Gesamtspannung an. Um die Vorgänge von Strom, Spannung und Widerstand in der Parallelschaltung zu verdeutlichen, ist die Spannung von 60V und die Widerstände 1,5 kOhm, 3 kOhm und 6 kOhm vorgegeben:

<< (Quelle: Elektronik-Kompendium, Kapitel „Parallelschaltung von Widerständen“)

Bei der Formel

zur Berechnung des Gesamtwiderstandes R_ges zweier parallel geschalteter Widerstände R₁ und R₂ handelt es sich um eine Spezialformel, die sich wie folgt herleitet:

1 / R_ges = 1 / R₁ + 1 / R₂ → Hauptnenner R₁ * R₂ bilden führt zu …

= ( R₂ + R₁ ) / ( R₁ * R₂ ) → Kehrwert bilden führt zu …

R_ges = ( R₁ * R₂ ) / ( R₂ + R₁ ) = ( R₁ * R₂ ) / ( R₁ + R₂ )

In der Mathematik gilt für das Rechnen und Berechnen von gemischten Termen wie z.B

5 - 2 * 3 + 1 * ( 16 * 2 – 8 / 4 ) = …

die Regel, dass Punktrechnung ( * oder / ) vor Strichrechnung ( + oder - ) geht:

5 - 2 * 3 + 1 * ( 16 * 2 – 8 / 4 ) = ( + 5 - 2 * 3 + 1 ) * ( 16 * 2 – 8 / 4 ) = ( + 5 - 6 + 1 ) * ( 32 - 2 ) = 0 * 30 = 0

Dabei muss die Regel für Punkt- und Strichrechnung als Erstes auf Klammerausdrücke (..) angewendet werden, da diese bevorrechtigt sind!

Die Regel, dass Punktrechnung ( * oder / ) vor Strichrechnung ( + oder - ) geht, lässt sich als Gedächtniskrücke bzw. Eselsbrücke sehr gut auf die Spezialformel R_ges = ( R₁ * R₂ ) / ( R₁ + R₂ ) anwenden: erst die Punktrechnung im Zähler und dann die Strichrechnung im Nenner! -

Bei einer Parallelschaltung mehrerer parallel geschalteter Widerstände ist der Gesamtwiderstand R_ges = 659 mΩ stets kleiner als der kleinste Einzelwiderstand R_Shunt = 660 mΩ

Wenn mehrere Stromzweige von Parallelwiderständen in einem Punkt zusammenlaufen, dann spricht man von einem sogenannten Stromknoten.

Dabei gibt es Stromknoten, in die die meisten Ströme hineinfließen und andere bei denen die meisten Ströme hinausfließen. Diesbezüglich bietet es sich an, dass man herausfließende Ströme mit negativen Vorzeichen versieht, während die hineinfließenden Ströme positiv gezählt werden.

Diesbezüglich verhält es sich so, dass die Summe, griechisches Summensymbol = „∑“, aller in einen Stromknoten hinein- oder herausfließenden Ströme gleich null ist:

∑ I_n = 0 mit n = Gesamtzahl aller Ströme

Demzufolge folgt für den einfachen Stromknoten R_Dreh // R_Shunt mit nur zwei Parallelwiderständen:

I_ges = I_Mess = I_Dreh + I_Shunt →

I_Dreh + I_Shunt + ( - I_Mess ) = 0

Für zwei parallel geschaltete Widerstände gilt darüber hinaus die sogenannte Stromteilerformel:

R_shunt / R_ges = I_ges / I_Shunt → … umgekehrt (= rezibrok) proportional!

R_Shunt / R_Dreh = I_Dreh / I_Shunt → umgekehrt (= rezibrok) proportional!

Bei einem Stromknoten gilt auch die Regel, dass die Summe aller Parallelwiderstände gleich null ist:

∑ 1 / R_n = 0 mit n = Gesamtzahl der Parallelwiderstände

Demzufolge folgt für den einfachen Stromknoten R_Dreh // R_Shunt mit nur zwei Parallelwiderständen:

1 / R_ges = 1 / R_Mess = 1 / R_Dreh + 1 / R_Shunt →

1 / R_Dreh + 1 / R_Shunt + ( - 1 / R_Mess ) = 0

Zu Guter letzt gilt für alle Teilspannungen bei parallel geschalteten Widerständen, dass alle Teilspannungen gleich groß sind:

U_ges = U_Mess = U_Dreh = U_Shunt

Wir vertiefen unser Wissen zum Sachverhalt der Stromstärkemessung mittels des Messgerätes 56 und der Berechnung des parallel geschalteten „Shunt“-Widerstandes, indem wir die Stromteilerformel anwenden. Doch zuvor müssen wir diese noch wie folgt herleiten:

Bei der Parallelschaltung zweier parallel geschalteter Widerstände verhält es sich einerseits so, dass sich die beiden Teilströme der parallel geschalteten Widerstände im Stromknoten zum Gesamtstrom addieren, während die Teilspannungen zueinander gleich groß sind: U_Dreh = U_Shunt !

Gemäß dem Ohmschen Gesetz U = I * R folgt durch Einsetzen in

U_Dreh = U_Shunt →

R_Dreh * I_Dreh = R_Shunt * I_Shunt

Da wir den „Shunt“-Widerstand berechnen wollen, müssen wir die beiden Seiten der Gleichung einfach vertauschen:

R_Shunt * I_Shunt = R_Dreh * I_Dreh

R_Shunt / R_Dreh = I_Dreh / I_Shunt → Stromteilerformel (siehe roter Kasten oben)!

R_Shunt = ( I_Dreh / I_Shunt ) * R_Dreh

= R_Dreh * [ I_Dreh / ( I_ges - I_Dreh ) ]

= R_Dreh * I_Dreh * / ( I_ges - I_Dreh )

= U_Dreh / ( I_ges - I_Dreh )

= 108,39 mV / ( 164,4 mA – 0,3 mA ) = 108,39 mV / 164,1 mA = 0,660512 Ω ≈ 660 mΩ þ (siehe weiter oben)

Probe:

R_Shunt = U_Dreh / ( I_ges - I_Dreh )

= U_Shunt / I_Shunt

= ∆U_M56 / I_Shunt

= ( U_{Pin A0} - U_{Pin A1} ) / I_Shunt (siehe weiter oben)

= ( U_{Pin A0} - U_{Pin A1} ) / ( I_ges - I_Dreh )

= 108,39 mV / ( 164,4 mA - 300 µA )

= 108,39 mV / ( 164,4 mA - 0,3 mA )

= 108,39 mV / 164,1 mA = 0,660512 Ω ≈ 660 mΩ þ (siehe oben)

Der Vollständigkeit halber berechnen wir noch den Spulenwiderstand R_Dreh des Drehspulmesswerks:

R_Dreh / R_Shunt = I_Shunt / I_Dreh → Stromteilerformel

R_Dreh * I_Dreh = R_Shunt * I_Shunt → U_Dreh = U_Shunt = U_Mess = ∆U_M56 = U_{Pin A0} - U_{Pin A1}

R_Dreh = R_Shunt * I_Shunt / I_Dreh = R_Shunt * [ ( I_ges - I_Dreh ) / I_Dreh ]

= R_Shunt * ( I_ges / I_Dreh - 1 )

= 660,5 mΩ * ( 164,4 mA / 0,3 mA - 1 )

= 660,5 mΩ * 547 = 361 293,5 mΩ ≈ 361 Ω þ (siehe oben)

Und, weil es sich so schön rechnet, berechnen wir noch den Gesamtwiderstand R_ges wie folgt:

1 / R_ges = 1 / R_Dreh + 1 / R_Shunt

R_ges = 1 / ( 1 / R_Dreh + 1 / R_Shunt ) → in der Klammer den Hauptnenner bilden!

= 1 / [ R_Shunt + R_Dreh / ( R_Dreh * R_Shunt ) ]

= ( R_Dreh * R_Shunt ) / [ R_Shunt + R_Dreh ] ← Siehe weiter oben bei Spezialformel R_ges = R₁ // R₂ (symbolisch)

= ( 361,3 Ω * 660,5 mΩ ) / [ 660,5 mΩ + 361,3 Ω ]

= ( 361,3 Ω * 0,66 Ω ) / [ 0,66 Ω + 361,3 Ω ]

= ( 238,458 Ω² ) / 361,96 Ω = 0,6588 Ω ≈ 659 mΩ þ (siehe oben)

oder mathematisch noch etwas eleganter:

R_ges = ( R_Dreh * R_Shunt ) / [ R_Shunt + R_Dreh ]

= ( R_Dreh * R_Shunt / R_Shunt ) / [ R_Shunt / R_Shunt + R_Dreh / R_Shunt ] → Zähler und Nenner durch R_Shunt kürzen!

= R_Dreh / [ 1 + R_Dreh / R_Shunt ]

= 361,3 Ω / [ 1 + 361,3 Ω / 660,5 mΩ ] = 361,3 Ω / [1 + 361,3 Ω / 0,66 Ω ]

= 361,3 Ω / [ 548,4 ] = 0,6588 Ω ≈ 659 mΩ þ (siehe oben)

Achtung: Bei der Parallelschaltung muss der Gesamtwiderstand stets kleiner sein als der kleinste Einzelwiderstand! þ

I_Dreh / I_Shunt = R_Shunt / R_Dreh

I_Dreh = R_Shunt / R_Dreh * I_Shunt

= 660 mΩ / 361 Ω * 164,1 mA = 0,660 Ω / 361 Ω * 0,164 A

= 2,99834 * 10^-4 A = 0,299834 * 10^-3 A = 0,2998 mA ≈ 300 µA

So, jetzt haben wir uns zwar eine Pause verdient, aus pädagogisch-didaktischen Gründen sozusagen, aber zur Ruhe und zurücklehnen dürfen wir uns leider noch nicht! Es gibt nämlich bei unserer bisherigen Berechnung noch einen Schönheitsfehler und einen kleinen Rechenfehler aufgrund eines logischen Fehlers.

Beginnen wir mit dem Schönheitsfehler. Um die beiden parallel geschalteten Messwiderstände R_Dreh // R_Shunt (symbolisch) im Stromknoten im Inneren des (Strom-) Messgerätes 56 berechnen zu können, mussten wir diese zunächst einzeln mittels der Spannungs- und Strom-Messwerte berechnen, sodass sich in den Widerstandswerten selbst

R_Shunt = ( I_Dreh / I_Shunt ) * R_Dreh = … = U_Dreh / ( I_ges - I_Dreh ) ≈ 660 mΩ þ (siehe oben),

R_Dreh = R_Shunt * I_Shunt / I_Dreh = R_Shunt * ( I_ges / I_Dreh - 1 ) ≈ 361 Ω þ (siehe oben) und

R_ges = ( R_Dreh * R_Shunt ) / [ R_Shunt + R_Dreh ] = … R_Dreh / [ 1 + R_Dreh / R_Shunt ] ≈ 659 mΩ þ (siehe oben)

nicht mehr die Abhängigkeit von Spannung und Strom widerspiegeln:

I = f ( U ) = 1 / R * U (ohne Konstantstrom I₀ = 0)

1 / R_ges = 1 / R_Dreh + 1 / R_shunt → mit R = U / I folgt jeweils für die einzelnen Parallelwiderstände:

= 1 / ( U_Dreh / I_Dreh ) + 1 / ( U_Shunt / I_Shunt ) → mit U_Dreh = U_Shunt = U_Mess = ∆U_M56 = U_{Pin A0} - U_{Pin A1} folgt:

= 1 / ( U_Mess / I_Dreh ) + 1 / ( U_Mess / I_Shunt )

= ( I_Dreh + I_Shunt ) / U_Mess → mit U_Mess als Hauptnenner!

Soweit zu dem Schönheitsfehler, d.h. der fehlenden Abhängigkeit von Spannung und Strom.

Nun zu dem kleinen Rechenfehler aufgrund eines logischen Fehlers.

Wenn wir nämlich für die Stromstärke I_Dreh = 300 µA als Wert einsetzen, dann unterstellen wir dem Messgerät 56 die Stromstärkeanzeige bei Vollausschlag! Das Gleiche tun wir mit der Stromstärke I_Shunt = 164,1 mA die durch den „Shunt“-Widerstand fließt. Auch hier unterstellen wir den Vollausschlag des Messgerätes 56. Und zwar wegen der Stromstärke I_Dreh = 300 µA.

Die Stromstärke von I_Dreh = 300 µA, die durch die kleine Messspule des Drehspulmesswerks fließt, bezieht sich aber auf den Messbereichsendwert (MBE) von 1 A Vollauschlag. Demzufolge müssen wir den mit einem hochwertigen, digitalen Multimeter gemessene Stromstärke von I_ges = I_Mess = I_R1+R2 = 164,4 mA ins Verhältnis zum MBE von 1 A Vollauschlag setzen:

1,0 A → 100 %

0,1644 A → x %

x = 100 % / 1,0 A * 0,1644 A = 16,44 % = 0,1644

Probe:

I_ges = I_Mess = I_R1+R2 = 0,1644 * 1 A = 164,4 mA

Gleiches gilt für die Stromstärke von I_Dreh = 300 µA, die durch die kleine Messspule des Drehspulmesswerks fließt:

100 % → 300 µA

16,44 % → x µA

x = 300 µA / 100 % * 16,44 % = 49,32 µA

Probe:

I_Dreh = 0,1644 * 300 µA = 49,32 µA

Um jetzt einschätzen zu können, ob wir den kleinen Messstrom I_Dreh = 49,32 µA, der durch die kleine Messspule des Drehspulmesswerks fließt, gegenüber dem Gesamtstrom I_ges = I_Mess = 164,4 mA vernachlässigen dürfen, müssen wir wieder das Verhältnis gemäß Dreisatz und damit die Genauigkeit wie folgt berechnen:

164,4 mA → 100 %

0,04932 mA → x %

x = 100 % / 164,4 mA * 0,04932 mA = 0,03 % Fehlerungenauigkeit →

I_Dreh = 49,32 µA und R_Dreh lassen also sich problemlos vernachlässigen, sodass folgt:

R_Shunt = U_Shunt / I_Shunt = U_Shunt / I_Shunt → Mit U_Shunt = U_Mess = ∆U_M56 = U_{Pin A0} - U_{Pin A1} folgt:

R_Mess = U_Mess / I_Mess

= 108,39 mV / 164,4 mA = 0,65931 Ω ≈ 659,3 mΩ þ

Berechnung des Messwiderstandes R_Mess

Wie wir inzwischen wissen, setzt sich der Messwiderstand R_Mess im Messgerät 56 aus zwei parallel geschalteten Widerständen zusammen und zwar aus

a) dem Spulenwiderstand des Drehspulmesswerkes R_Dreh und

b) dem „Shunt“-Widerstand R_Shunt.

Dabei dient der zum Drehspulmesswerk parallel geschaltete „Shunt“-Widerstand R_Shunt dazu, überzähligen Strom von mehr als I_Dreh > 300 µA, der das Messwerk zerstören würde, von diesem fernzuhalten, indem dieser um das Messwerk herum geleitet wird!

Da sich mit den beiden A/D-Wandlern an den Ports „Pin A0“ und „Pin A1“ nur Spannungen messen lassen, lässt sich mit diesen nur der Spannungsabfall U_Mess = ∆U_M56 = U_{Pin A0} - U_{Pin A1} am Messgerät 56 messen. Dabei lässt sich der (Gesamt-) Messwiderstand R_Mess nur berechnen, wenn man den Strom I_Mess der durch das Messgerät 56 als Ganzes fließt, kennt.

[ weiter ] zur Programmierung der „Sketch“-Programme „sketch_prog_12_03.ino“ und folgende. -

Mit dem „Sketch“-Programm „sketch_prog_12_03.ino“ im Webverzeichnis lässt sich zuerst mittels der

· Menüwahl „Taste <um> = Spannung U Mess berechnen“ (siehe blauer Kasten)

der Spannungsabfall am Messgerät 58 als Spannungsdifferenz U_Mess = ∆U_M56 = U_{Pin A0} - U_{Pin A1} = 108,17 mV messen und anschließend mittels der

· Menüauswahl „Taste <rm> = Widerstand R Mess berechnen“ (siehe brauner Kasten)

der Widerstand R_Mess = 660,80 mΩ des Messgerätes 56:

(Bild vergrößern: auf Bild klicken! Webverzeichnis | sketch_prog_12_03.ino)

Nachdem der Messwiderstand R_Mess = 660,80 Ω bekannt ist, lässt sich dieser in das „Sketch“-Programm „sketch_prog_12_04.ino“ im Webverzeichnis einsetzen, sodass sich mit diesem fortan

(Bild vergrößern: auf Bild klicken! Webverzeichnis | sketch_prog_12_04.ino)

die Stromstärke durch den Spannungsteiler bzw. der Reihenschaltung von R₁ + R₂ messen lässt!

Wir stellen die Stromversorgung der Reihenschaltung von vormals U_5V = 5,0 V auf nunmehr U_3V3 = 3,3 V (siehe kleiner grüner Kasten) um

(Zum Vergrößern bitte auf das Bild klicken!)

und stellen fest, dass die beiden in Reihe geschalteten Glühlampen 18 (= R_{Lampe 1} + R_{Lampe 2}) immer noch leuchten, wenn auch nicht mehr ganz so hell. Dann starten wir das „Sketch“-Programm „sketch_prog_12_04.ino“ im Webverzeichnis und lassen uns die Stromstärke I_Mess = I_{R Lampe 1} = I_{R Lampe 2} im Arduino-Konsolefenster wie folgt anzeigen:

(Bild vergrößern: auf Bild klicken! Webverzeichnis | sketch_prog_12_04.ino)

Da wir den Messwiderstand R_Mess des (Strom-) Messgerätes 56 ergänzend auf eine andere Weise berechnen wollen, interessiert uns der Spannungsabfall U_Mess = 93,42 mV und die dazugehörige Stromstärke I_Mess = 133,94 mA bei der Stromversorgung der Reihenschaltung mit U_3V3 = 3,3 V (siehe obenstehendes Bild). Beide Werte ergeben zusammen unseren Messpunkt P₁ ( U_Mess / I_Mess ) = ( 93,42 mV / 133,94 mA ).

Den zweiten Messpunkt P₂ ( U_Mess / I_Mess ) = ( 108,17 mV / 163,70 mA ) entnehmen wir dem Arduino-Konsolefenster weiter oben mit der Stromversorgung der Reihenschaltung von U_5V = 5,0 V.

Gemäß dem Ohmschen Gesetz und dem Differenzenquotienten folgt:

R_Mess = ∆_UMess / ∆I_Mess = ( 108,17 mV - 93,42 mV ) / ( 163,70 mA - 133,94 mA )

= 14,75 mV / 29,76 mA = 0,49563 Ω = 495,63 mΩ → (= -25 % im Vergleich zum R_Mess = 660,80 Ω )

Der mit dem „Sketch“-Programm „sketch_prog_12_04.ino“ und der Berechnung des Differenzenquotienten ermittelte Messwiderstand des (Strom-) Messgerätes 56 vom R_Mess = 495,63 mΩ bei einem gleichzeitigen Mess- und Berechnungsfehler von sage und schreibe -25 % im Vergleich zum R_Mess = 660,80 Ω sollte uns veranlassen, der Falschmessung auf den Grund zu gehen!

Wenn also die bei der Berechnung zugrunde gelegten Messwerte falsch sind, dann nützt die beste Berechnung nichts, weil diese eben auf falsch gemessenen Messwerten beruht. Jetzt bewahrheitet sich der Spruch „Wer viel misst, misst Mist!“

[ weiter ] zur Programmierung der „Sketch“-Programme „sketch_prog_12_05.ino“ und folgende. -

Das nachfolgende „Sketch“-Programm „sketch_prog_12_05.ino“ unterscheidet sich vom Vorgängerprogramm dahingehend, dass bei diesem nicht mehr nur ein Messwert am Port „Pin A0“ sowie „Pin A1“ aufgenommen wird, sondern insgesamt zwanzig teils verschiedene, d.h. abweichende Messwerte, von denen dann zwecks weiterer Berechnung jeweils der arithmetische Mittelwert gebildet wird, um auf diese Weise größere Messfehler aufgrund teils maximaler Abweichungen auszuschließen.

Starten wir also unsere erste Messung bei einer Betriebsspannung von U_5V = 4,99 V am Port „5V“:

(Bild vergrößern: auf Bild klicken! Webverzeichnis | sketch_prog_12_05.ino)

Wie man im obenstehenden Screenshot des Arduino-Konsolefensters sieht, beträgt der größte Bitwert am Port „Pin A0“ = 1015 Bit und der kleinste = 1013 Bit (siehe rote Kästen in der linken Spalte), sodass sich eine maximale Differenz von 1015 - 1013 = 2 Bit ergibt. Beim Port „Pin A1“ beträgt die maximale Differenz = 0 Bit (siehe blauer Kasten in der rechten Spalte).

Im ungünstigsten Fall müsste man also zwischen den beiden Ports „Pin A0“ und „Pin A1“ mit einer maximalen Differenz von 1015 - 990 = 25 Bit rechnen, sodass für die Berechnung der Messspannung U_Mess folgt:

1023 Bit → 5,0 V

25 Bit → x V

x = 5,0 V / 1023 Bit * 25 Bit = 0,12219 V = 122,19 mV → U_{Mess, max}

Andererseits müsste man im ebenfalls ungünstigsten Fall mit einer minimalen Differenz von 1013 - 990 = 23 Bit zwischen den beiden Ports „Pin A0“ und „Pin A1“ rechnen, sodass für die Berechnung der Messspannung U_Mess folgt:

1023 Bit → 5,0 V

23 Bit → x V

x = 5,0 V / 1023 Bit * 23 Bit = 0,1124145 V = 112,41 mV → U_{Mess, min}

Der Mittelwert der maximal ungünstigsten Messdifferenz errechnet sich dann wie folgt:

∆U_Mess = ( 122,19 mV – 112,41 mV ) / 2 = 9,78 / 2 = 4,89 mV

U_{Mess, mittel} = 122,19 mV - 4,89 mV = 117,3 mV oder

U_{Mess, mittel} = 112,41 mV + 4,89 mV = 117,3 mV →

Vergleicht man den Mittelwert der maximal ungünstigsten Messdifferenz, d.h. dem maximal größten Messfehler von U_{Mess, mittel} ≈ 117,3 mV mit dem Mittelwert der zwanzig gemessenen Bit-Werten und deren Umrechnung in Millivolt, so fällt mit U_Mess = 118,0 mV (siehe oben!) auf, dass die maximal ungünstigste und größte Messdifferenz in der Messpraxis gar nicht auftritt, da wir die Messwerte an den beiden Ports „Pin A0“ und „Pin A1“ paarweise, d.h. in einer Reihe mehr oder weniger zeitgleich aufnehmen!

Bei der obenstehenden Stromstärkemessung der in Reihenschaltung betriebenen Glühlampen 18 von Versuch 12 interessiert uns der Spannungsabfall U_Mess = 118,0 mV und die dazugehörige Stromstärke I_Mess = 178,58 mA am Messgerät 56 sowie die Betriebsspannung der Reihenschaltung mit U_5V = 4,99 V (siehe obenstehendes Bild). Beide Werte ergeben zusammen unseren ersten Messpunkt A0 ( U_Mess / I_Mess ) = ( 118,0 mV / 178,58 mA ).

Den zweiten Messpunkt A1 ( U_Mess / I_Mess ) = ( 108,2 mV / 163,79 mA ) entnehmen wir dem nachfolgenden Arduino-Konsolefenster der zweiten Stromstärkemessung mit der Betriebsspannung von U_3.3V = 3,39 V am Port „3.3V“:

(Bild vergrößern: auf Bild klicken! Webverzeichnis | sketch_prog_12_05.ino)

Gemäß dem Ohmschen Gesetz und dem Differenzenquotienten folgt:

R_Mess = ∆_UMess / ∆I_Mess

= ( U_{Pin A0} - U_{Pin A1} ) / ( I_{Pin A0} - I_{Pin A1} ) → mit U_{Pin A0} > U_{Pin A1} und I_{Pin A0} > I_{Pin A1}

= ( 118,0 mV - 108,2 mV ) / ( 178,58 mA - 163,70 mA )

= 9,8 mV / 14,88 mA = 0,658602 Ω = 658,60 mΩ → (= -0,33 % im Vergleich zum R_Mess = 660,80 mΩ )

Jetzt zeigt und bestätigt sich, dass der Messwiderstand R_Mess im Messgerät 56 im

· ersten Messpunkt A0 ( U_Mess / I_Mess ) = ( 118,0 mV / 178,58 mA ) = 660,77 mΩ und

· zweiten Messpunkt A1 ( U_Mess / I_Mess ) = ( 108,2 mV / 163,70 mA ) = 660,97 mΩ

gleich groß sind, die Spannungs-/Strom-Kennlinie I = f (U) linear, d.h. mit konstanter Steigung verläuft. Und zwar sowohl für den Messwiderstand R_Mess als auch die in Reihe geschalteten Widerstände R_{Lampe 1} + R_{Lampe 2}!

Die größeren Spannungs- und Stromstärkewerte (= Messpunkt A0) beziehen sich auf die Betriebsspannung U_5V = 5,0 V und die kleineren Spannungs- und Stromstärkewerte (= Messpunkt A1) beziehen sich auf die Betriebsspannung U_3.3V = 3,39 V.

Da es zu jeder rechnerischen Lösung auch eine grafische gibt, schauen wir uns diese noch an:

(Zum Vergrößern bitte auf das Bild klicken!)

Wie man im obenstehenden Bild sieht, geht die sogenannte Widerstandsgerade, das ist die Gerade, die durch den

· Messpunkt A0 ( U_Mess / I_Mess ) = ( 118,0 mV / 178,58 mA ) und

· Messpunkt A1 ( U_Mess / I_Mess ) = ( 108,2 mV / 163,70 mA )

verläuft und mathematisch durch die Geradengleichung beschrieben wird.

[ weiter ] zur Programmierung der „Sketch“-Programme „sketch_prog_12_05.ino“ und folgende. -

Geradengleichung der Widerstandsgeraden

Obwohl die Geradengleichung wegen ihrer mathematischen Schreibweise und wegen I₀ anfangs etwas gewöhnungsbedürftig ist, ist sie dennoch ein mächtiges Werkzeug, das sich praktisch immer und überall anwenden lässt.

Demzufolge lässt sich die Geradengleichung nicht nur auf das obenstehende Steigungsdreieck anwenden, sondern auch für Spannungsmessungen jedweder Art wie z.B. beim unbelasteter/belasteter Spannungsteiler, verketteten Spannungen oder bei Spannungsmessungen mit Konstantstromanteil I₀:

I_Mess = 1 / R_Mess * U_Mess + I₀ → mit I₀ = Konstantstrom → Parallelverschiebung

Wie man bei der Geradengleichung sieht, besteht diese u.a. aus der unabhängigen Variablen U_Mess, d.h. der Spannung, die zwischen den Anschlussklemmen am Messgerät 56 anliegt.

Da die Widerstandsgerade durch den Ursprung des Koordinatensystems verläuft, gibt es keine Parallelverschiebung derselben, so dass der Konstantstrom I₀, der ja für die Parallelverschiebung maßgeblich wäre, mit I₀ = 0 entfällt:

I_Mess = 1 / R_Mess * U_Mess → kein Konstantstrom I₀

Selbstverständlich gilt die Geradengleichung der Widerstandsgerade auch für Spannungs- und Stromdifferenzen bzw. Spannungs- und Stromstärkenunterschiede:

∆I_Mess = 1 / R_Mess * ∆U_Mess →

R_Mess = ∆U_Mess / ∆I_Mess

= ( U_{Mess 2} - U_{Mess 1} ) / ( I_{Mess 2} - I_{Mess 1} )

= ( U_{Pin A0} - U _{Pin A1} ) / ( I_{Pin A0} - I_{Pin A1} )

= ( 118,0 mV - 108,2 mV ) / ( 178,58 mA - 163,70 mA )

= ( 9,8 mV ) / ( 14,88 mA ) = 0,6586 Ω = 658,6 mΩ (siehe weiter oben!)

Wenn man also den Messwiderstand R_Mess kennt bzw. dieser bekannt ist, dann muss man mit dem „Arduino UNO“ an den Ports „Pin A0“ und „Pin A1“ nur die jeweiligen Spannungen U_{Pin A0} und U _{Pin A1} messen, die Spannungsdifferenz ∆U_Mess = U_{Pin A0} - U _{Pin A1} berechnen und schon weiß man, wie groß die Stromstärke I_Mess = I_R1+R2 ist:

∆I_Mess = 1 / R_Mess * ∆U_Mess →

I_Mess = 1 / R_Mess* U_Mess =

= ( U_{Pin A0} - U_{Pin A1} ) / R_Mess → im Messpunkt A0 (siehe oben!)

= 118,0 mV / 658,6 mΩ = 0,17917 A = 179,17 mA → bei U_Betrieb = U_5V = 4,99 V (siehe weiter oben!)

Achtung! Die obenstehenden Widerstandsgeraden und deren Berechnung durch die Geradengleichung darf nur auf das Steigungsdreieck des Messwiderstandes R_Mess angewendet werden! Sie gilt nicht für die komplette Schaltung, d.h. u.a. nicht für den Gesamtwiderstand R_ges = R_Mess + R_{Lampe 1} + R_{Lampe 2 !}

Berechnung der beiden Teilwiderstände des unbelasteten Spannungsteilers

Um die beiden Teilwiderstände R₁ = R_{Lampe 1} und R₂ = R_{Lampe 2} des unbelasteten Spannungsteilers berechnen zu können, benötigen wir noch die Spannung bzw. den Spannungsabfall parallel zum Widerstand R_{Lampe 1} oder R_{Lampe 2}.

Zu diesem Zweck verbinden wir die Mittelanzapfung des Spannungsteilers zwischen den beiden Teilwiderständen mit dem Port „Pin A2“ des „Arduino UNO“

(Zum Vergrößern bitte auf das Bild klicken!)

und benutzen diesen für die A/D-Wandlung, sodass sich mit diesem der Spannungsabfall parallel zum Lampenwiderstand R_{Lampe 2} gegen Masse „GND“ („┴“) messen lässt:

U_{Lampe 2} = R_{Lampe 2} * I_{Lampe 2} → I_Mess = I_{Lampe 1} = I_{Lampe 2}

R_{Lampe 2} = U_{Lampe 2} / I_Mess = U_{Pin A2} / I_Mess

= 2,32 V / 163,70 mA = 2,32 V / 0,1637 A = 14,1723 Ω ≈ 14,17 Ω

Probe:

mittels der Spannungsteilerformel

R_{Lampe 2} / R_ges = U_{Lampe 2} / U_ges →

U_ges = U_{Lampe 1} + U_{Lampe 2}

= U_5V – U_Mess = U_5V - ( U_{Pin A0} - U_{Pin A1} )

= U_{Pin A0} - ( U_{Pin A0} - U_{Pin A1} )

= +U_{Pin A1} = 4,878 V

R_{Lampe 2} = U_{Lampe 2} / U_ges * R_ges

= R_ges * U_{Lampe 2} / U_ges

= R_R1+R2 * U_{Lampe 2} / U_{Pin A1}

= 29,80 Ω * 2,32 V / 4,878 V = 29,80 Ω * 0,4756 V ≈ 14,17 Ω þ

Im nachfolgenden Screenshot lassen sich die entsprechenden Spannungen, Ströme und Widerstände nachschlagen, die mit dem “Sketch”-Programm „sketch_prog_12_08.ino“ gemessen und berechnet wurden:

(Bild vergrößern: auf Bild klicken! Webverzeichnis | sketch_prog_12_08.ino)

Wichtig ist bei den Messungen und Berechnungen mehrerer Spannungen, Stromstärken und Widerständen, stets darauf zu achten, dass bei allen der gleiche Spannungsabfall U_Mess = 108,2 mV sowie die gleiche Stromstärke I_Mess = 163,70 mA vorherrscht!

Sollte es von Messung zu Messung zu voneinander abweichenden Spannungs- und Stromwerten kommen, so muss man mit ungenauen, d.h. zu großen oder zu kleinen Ergebniswerten rechnen!

Jetzt wo wir den Gesamtwiderstand R_R1R2 = 29,81 Ω des Spannungsteilers mit den beiden in Reihe geschalteten Glühlampen 18 und auch den Widerstandswert des zweiten Widerstandes R_R2 = 14,18 Ω kennen, lässt sich der erste Widerstand R_R1 ganz einfach durch Subtraktion vom Gesamtwiderstand R_R1R2 wie folgt berechnen:

R_ges = R_R1+R2 = R₁ + R₂ = R_{Lampe 1} + R_{Lampe 2} →

R_{Lampe 1} = R_ges - R_{Lampe 2}

= 29,81 Ω - 14,18 Ω = 15,63 Ω

Wie man sieht, ist der erste Lampenwiderstand mit R_{Lampe 1} = 15,63 Ω in der Tat deutlich größer als der zweite Lampenwiderstand mit R_{Lampe 2} = 14,18 Ω (= - 9,28 % gegenüber dem Lampenwiderstand R_{Lampe 1 )}.

Da sich der erste Lampenwiderstand R_{Lampe 1} auch mittels der sogenannten Spannungsteilerformel berechnen lässt, wenden wir diese zu Kontrollzwecken wie folgt an:

R₁ / R_ges = U_R1 / U_ges → Achtung: Mit U_ges ist die Gesamtspannung U_R1+R2 am Spannungsteiler gemeint!

R_{Lampe 1} = U_R1 / U_ges * R_ges

= ( U_R1+R2 - U_R2 / U_R1+R2 ) * R_R1+R2

= ( 1 - U_R2 / U_R1+R2 ) * R_R1+R2

= ( 1 - 2,32 V / 4,878 V ) * 29,80 Ω = ( 1 - 0,4756 ) * 29,80 Ω

= 0,5244 * 29,80 Ω = 15,627 Ω ≈ 15,63 Ω

Der Vorteil der Spannungsteilerformel wie z.B. R_{Lampe 1} / R_ges = U_R1 / U_ges ist der, dass man ganz ohne Ströme oder Stromstärken auskommt, diese also nicht kennen oder gemessen haben muss!

Probe:

I_R1 = U_R1 / R_{Lampe 1} = ( U_R1+R2 - U_R2 ) / R_{Lampe 1}

= ( 4,878 V - 2,32 V ) / 15,627 Ω = 2,558 V / 15,627 Ω = 0,16369 A ≈ 163,7 mA þ (siehe weiter oben!)

Nachfolgend noch zum Vergleich die mit dem „Sketch“-Programm „sketch_prog_12_09.ino“ gemessenen und berech-neten Spannungen, Ströme und Widerstände:

(Bild vergrößern: auf Bild klicken! Webverzeichnis | sketch_prog_12_09.ino)

[ weiter ] zur Programmierung der „Sketch“-Programme „sketch_prog_12_08.ino“ und folgende. -

Den belasteten Spannungsteiler berechnen

Wie wir bereits wissen, besteht ein Spannungsteiler, d.h. ein unbelasteter Spannungsteiler im Allgemeinen aus zwei in Reihe geschalteten Widerständen mit R_ges = R_{Lampe 1} + R_{Lampe 2}, sodass sich die Versorgungsspannung am Spannungsteiler auf die beiden Einzelwiderstände R_{Lampe 1} und R_{Lampe 2} entsprechend aufteilt. Dabei liegt an dem kleinen Einzelwiderstand die kleine Spannung und an dem größeren Einzelwiderstand die größere Spannung. Insgesamt fließt aber durch beide Einzelwiderstände wegen der Reihenschaltung ein und derselbe Strom mit der gleich großen Stromstärke: I = I_ges = I_{Lampe 1} = I_{Lampe 2}!

Wenn man nun zum bisherigen Einzelwiderstand R_{Lampe 2} einen weiteren Einzelwiderstand R_{Lampe 3} parallel schaltet, dann handelt es sich bei den beiden parallel geschalteten Widerständen R_{Lampe 1} // R_{Lampe 2} um eine Parallelschaltung, sodass für die Stromstärken gilt: I = I_ges = I_{Lampe 1} = I_{Lampe 2} + I_{Lampe 3}, wenn man den Ein-/Ausschalter 14 und den Ein-/Austaster 15 gleichzeitig einschaltet:

(Bild vergrößern: auf Bild klicken! Webverzeichnis | sketch_prog_12_09.ino)

Doch bevor die obenstehende Schaltung mit dem belasteten Spannungsteiler R_ges = R_{Lampe 1} + ( R_{Lampe 2} // R_{Lampe 3} ) in Betrieb nehmen und einschalten, sollten wir uns Gedanken machen, ob die dabei größere Gesamtstromstärke nicht den zulässigen Maximalwert von 400 mA bei der Stromversorgung des „Arduino UNO“ mittels USB-Kabel überschreitet, da dieser sonst Schaden nehmen könnte!

Zu den drei baugleichen Glühlampen 18 gibt es folgende Nenn-Betriebsdaten: a) Nenn-Spannung U_{Lampe, Nenn} = 3,2 V und b) Nenn-Strom I_{Lampe, Nenn} = 0,2 A, sodass sich der Nenn-Widerstand R_{Lampe, Nenn} gemäß dem Ohmschen Gesetz wie folgt berechnet:

R = U / I

R_{Lampe, Nenn} = U_{Lampe, Nenn} / I_{Lampe, Nenn}

= 3,2 V / 0,2 A = 16 Ω

Demzufolge berechnet sich der (Gesamt-) Parallelwiderstand R_Parallel der beiden parallel geschalteten Lampenwiderstände R_{Lampe 2} // R_{Lampe 3} wie folgt:

1 / R_Parallel = 1 / R_{Lampe 2} + 1 / R_{Lampe 3} = 1 / R_{Lampe 2} + 1 / R_{Lampe 2} = 2 * 1 / R_Lampe → Kehrwert bilden!

R_Parallel = R_Lampe / 2 = 16 Ω / 2 = 8 Ω

Als nächstes lässt sich der Gesamtwiderstand R_ges des belasteten Spannungsteilers wie folgt berechnen:

R_Sp.teiler = R_Parallel + R_{Lampe 1} = 8 Ω + 16 Ω = 24 Ω

Für die Stromstärke I_max = I_Mess = I_{Lampe 1} folgt:

I_max = U_{Pin A1} / R_Sp.teiler = U_{Pin A0} / ( R_Mess + R_Sp.teiler )

= U _{Pin A0} / ( R_Mess + R_Sp.teiler )

= 4,956 V / ( 660,80 mΩ + 24 Ω ) = 4,956 V / ( 0,661 Ω + 24 Ω ) = 4,956 V / ( 24,661 Ω )

= 0,20097 A = 200,97 mA → Zum Vergleich: 163,70 mA beim unbelasteten Spannungsteiler!

Mit dem „Sketch“-Programm „sketch_prog_12_09.ino“ lässt sich übrigens ganz leicht überprüfen, ob die obenstehenden Berechnungen des belasteten Spannungsteilers alle richtig sind:

(Bild vergrößern: auf Bild klicken! Webverzeichnis | sketch_prog_12_09.ino)

Mit dem obenstehenden „Sketch“-Programm „sketch_prog_12_09.ino“ lässt sich der dritte Widerstand R_{Lampe 3}, der zum zweiten Widerstand R_{Lampe 2} parallel geschaltet ist, noch nicht einzeln berechnen, sondern nur der Gesamtwiderstand R_Sp.teiler = R_Parallel + R_{Lampe 1} = 24,01 Ω des belasteten Spannungsteilers.

In diesem Zusammenhang stellt sich generell die Frage, wie sich der dritte Widerstand R_{Lampe 3}, der zum zweiten Widerstand R_{Lampe 2} parallel geschaltet ist, überhaupt berechnen lässt, ohne den zweiten parallel geschalteten Widerstand R_{Lampe 2} vorher zu kennen (siehe Schaltung weiter oben).

Der dritte Widerstand R_{Lampe 3}, der zum zweiten Widerstand R_{Lampe 2} parallel geschaltet ist, lässt sich entweder mit der Spannungs- oder Stromteilerformel berechnen.

Berechnung des dritten Widerstandes R_{Lampe 3} mittels der Spannungsteilerformel:

R₁ / R₃ = U₁ / U₃

R_{Lampe 1} / R_{Lampe 3} = U_{Lampe 1} / U_{Lampe 3} → Achtung:

Der zweite Widerstand R_{Lampe 2} darf nicht parallel geschaltet sein und muss deshalb weggelassen bzw. durch den dritten Widerstand R_{Lampe 3} ersetzt werden! Es gibt jetzt keine Parallelschaltung mehr, sondern nur noch einen unbelasteten Spannungsteiler!

R_{Lampe 1} = U_{Lampe 1} / U_{Lampe 3} * R_{Lampe 3}

R_{Lampe 3} = R_{Lampe 1} / ( U_{Lampe 1} / U_{Lampe 3} )

= R_{Lampe 1} * ( U_{Lampe 3} / U_{Lampe 1} )

= R_{Lampe 1} * [ U_{Lampe 3} / ( U_R1R3 - U_{Lampe 3} ) ]

= R_{Lampe 1} * [ U_{Lampe 3} / ( U_R1R3 - U_{Lampe 3} ) ]

= R_{Lampe 1} * [ 1 / ( U_R1R3 / U_{Lampe 3} - 1 ) ] → Eckige Klammer [ ] durch Ausmultiplizieren auflösen!

= R_{Lampe 1} / ( U_R1R3 / U_{Lampe 3} - 1 ) → Widerstandswert R_{Lampe 1} = 15,86 Ω (siehe weiter oben!)

= 15,86 Ω / ( 4,868 V / 2,45 V - 1 ) = 15,86 Ω / ( 1,9869 - 1 ) = 15,86 Ω / 0,9869 = 15,65 Ω ≈ 15,7 Ω

Die Spannungswerte U_R1R3 und U_{Lampe 3} wurden mit dem „Sketch“-Programm „sketch_prog_12_10.ino“ ermittelt, das mit dem obenstehenden „Sketch“-Programm „sketch_prog_12_09.ino“ bis auf die Änderungen des Widerstandesnamens von R_{Lampe 2} auf R_{Lampe 3}, des Spannungsnamens von U_{Lampe 2} auf U_{Lampe 3} und U_R1R2 auf U_R1R3 hinsichtlich der Berechnung identisch:

(Bild vergrößern: auf Bild klicken! Webverzeichnis | sketch_prog_12_10.ino)

Das Schöne an der Spannungsteilerformel ist nach wie vor, dass der Strom I_Mess = I_R1R3 durch den Spannungsteiler keine Rolle spielt bzw. man diesen zuvor nicht extra berechnen muss!

Schließlich verhält es sich ja so, dass wir mit unserem Programm und den drei analogen Ports „Pin A0“ bis „Pin A2“ nebst A/D-Wandlern stets nur Spannungen messen können, die sich allerdings in Ströme umrechnen lassen!

Das Interessante und zu gleich Besondere an den beiden, praktisch identischen „Sketch“-Programmen „sketch_prog_12_09.ino“ und „sketch_prog_12_10.ino“ ist, dass sich mit diesen jeweils die Stromteilerwiderstände R_{Lampe 2} = 14,18 Ω und R_{Lampe 3} = 15,65 Ω einzeln beim unbelasteten Spannungsteiler und mit dem belasteten Spannungsteiler der gesamte Parallelwiderstand R_Parallel = 7,439 Ω des Stromteilers R_{Lampe 2} // R_{Lampe 3} berechnen lassen:

1 / R_Parallel = 1 / R_{Lampe 2} + 1 / R_{Lampe 3} →

= ( R_{Lampe 3} + R_{Lampe 2} ) / ( R_{Lampe 2} * R_{Lampe 3} )

R_Parallel = ( R_{Lampe 2} * R_{Lampe 3} ) / ( R_{Lampe 3} + R_{Lampe 2} )

= ( 14,18 Ω * 15,65 Ω ) / ( 15,65 Ω + 14,18 Ω )

= ( 221,917 Ω² ) / ( 29,83 Ω ) = 7,439 Ω

1 / R_{Lampe 2} = 1 / R_Parallel - 1 / R_{Lampe 3} = ( R_{Lampe 3} - R_Parallel ) / ( R_Parallel * R_{Lampe 3} )

R_{Lampe 2} = ( R_Parallel * R_{Lampe 3} ) / ( R_{Lampe 3} - R_Parallel )

= ( 7,439 Ω * 15,65 Ω ) / ( 15,65 Ω - 7,439 Ω ) = ( 116,42035 Ω² ) / ( 8,211 Ω ) = 14,18 Ω

Die vorausgegangene Berechnung ist trivial, d.h. naheliegend, nützt uns aber nichts, weil wir zur Berechnung des Lampenwiderstandes R_{Lampe 2} zuvor den gesamten Parallelwiderstand R_Parallel berechnen müssen, indem der zu berechnende Lampenwiderstand R_{Lampe 2} bereits drin vorkommt, also bereits bekannt sein muss!

Die Schaltung mit dem „Arduino UNO“ und dem belasteten Spannungsteiler in Verbindung mit der per Taster 15 zuschaltbaren Glühlampe 18 als Belastung hatten wir ja bereits (siehe weiter oben).

Im Internet habe ich das Elektronik-Portal „Electronic Planet“ gefunden, bei dem es eine animierte Webseite gibt mit der sich der belastete Spannungsteiler berechnen lässt. -

Da es mit dem belasteten Spannungsteiler, wie wir gleich sehen werden, ein elektrotechnisches Problem gibt, und man beim Arbeiten mit der Schaltung nicht ständig den Taster 15 gedrückt halten muss, ersetzen wir diesen durch den grünen Umschalter 64.

Für die geänderte Schaltung des belasteten Spannungsteilers mit der zuschaltbaren Glühlampe 18 als Belastung benötigen wir nachfolgende Bauteile (im Uhrzeigersinn von links nach rechts):

· 1 Stück Batteriefach Nr. 19,

· 1 Stück Leitleisten Nr. 2,

· 1 Stück Leitleiste Nr. 4,

· 1 Stück Leitleisten Nr. 3,

· 1 Stück (Strom-) Messgerät 56

· 1 Stück Leitleisten Nr. 2,

· 1 Stück Leitleisten Nr. 4,

· 1 Stück Leitleisten Nr. 2,

· 1 Stück Ein-Aus-Schalter Nr. 14,

· 1 Stück Glühlämpchen Nr. 18,

· 1 Stück Leitleisten Nr. 5,

· 1 Stück Leitleisten Nr. 2,

· 1 Stück Glühlämpchen Nr. 18,

· 1 Stück Umschalter Nr. 64,

· 1 Stück Leitleisten Nr. 1,

· 1 Stück Glühlämpchen Nr. 18,

· 1 Stück Leitleisten Nr. 3,

· 1 Stück Leitleisten Nr. 3,

· 1 Stück Leitleiste Nr. 6,

· 1 Stück Leitleisten Nr. 2.

Bei dem Schaltungsaufbau gilt es zu beachten, dass das Batteriefach 19 leer bleibt, da wir die Spannungsversorgung mit 5 Volt nach wie mit dem „Arduino UNO“ über den Port „Pin 5V“ (bis max. 400 mA Stromstärke) vornehmen:

(Bild vergrößern: auf Bild klicken! Webverzeichnis | sketch_prog_12_10.ino)

Das zuvor erwähnte elektrotechnisches Problem besteht darin, dass die beiden parallel geschalteten Glühlampen 18 nur noch ganz schwach glimmen, also nicht mehr hell leuchten, was darauf hin deutet, dass die Belastung des Spannungsteilers bezüglich der Stromstärke von I_Mess = I_{Lampe 2} + I_{Lampe 3} = 197,4 mA einerseits ziemlich groß ist, während gleichzeitig der Spannungsabfall parallel zum Stromteiler mit U_Parallel = 770 mV sehr klein ist!

Demzufolge werden die beiden parallel geschalteten Glühlampen 18 nicht mehr im linearen, d.h. im konstanten Bereich der Widerstandsgeraden betrieben, sodass sich deswegen das Ohmsche Gesetz R = U / I = konstant, die lineare(!) Geradengleichung i = f (U) = 1/R * U + I₀, aber auch die Spannungs- und Stromteilerformel nicht mehr bestimmungsgemäß anwenden lassen, weil sich die beiden Widerstände der parallel geschalteten Glühlampen 18 ab einer Betriebsspannung von weniger als 1 Volt nicht mehr konstant, sondern dynamisch veränderlich verhalten!

Immer dann, wenn die Glühlampe 18 nicht mehr über die volle Länge der Glühwendel leuchtet, verringert sich der Widerstand des Wolframdrahtes so sehr bis dieser fast einen Kurzschluss (= kleiner Spannungsabfall, große Stromstärke) darstellt!

Dazu muss man wissen, dass die Glühwendel mit dem Wolframdraht immer nur dann einen elektrischen Widerstand aufbaut, wenn sich diese stark erhitzt und dabei rot glühend wird!

Berechnung des Parallelwiderstandes der beiden parallel geschalteten Glühlampen 18 bei einer Versorgungsspannung von U_5V = 5 V am Port „Pin 5V“ des „Arduino UNO“:

R_Parallel = U_Parallel / I_Parallel

= 770 mV / 197,4 mA = 3,90 Ω

Wenn man davon ausgeht, dass die beiden parallel geschalteten Glühlampen 18 zueinander baugleich sind, dann folgt für den einzelnen Wert eines Parallelwiderstandes R_{Lampe 2} = R_{Lampe 3}:

1 / R_Parallel = 1 / R_{Lampe 2} + 1 / R_{Lampe 3}

= 1 / R_{Lampe 2} + 1 / R_{Lampe 2} = 2 * 1 / R_{Lampe 2}

= 2 / R_{Lampe 2} →

R_{Lampe 2} = 2 * R_Parallel

= 2 * 3,90 Ω = 7,80 Ω

Zum Vergleich die Nenn-Betriebsdaten der Glühlampen 18:

a) Nenn-Spannung U_{Lampe, Nenn} = 3,2 V und

b) Nenn-Strom I_{Lampe, Nenn} = 0,2 A,

Demzufolge berechnet sich der Nenn-Widerstand R_{Lampe, Nenn} gemäß dem Ohmschen Gesetz wie folgt:

R = U / I

R_{Lampe, Nenn} = U_{Lampe, Nenn} / I_{Lampe, Nenn}

= 3,2 V / 0,2 A = 16 Ω

Jetzt wird unmissverständlich deutlich, dass sich die beiden parallel geschalteten Widerstände der Glühlampen 18 bei einer zu niedrigen Betriebsspannung von derzeit 770 mV definitiv nicht mehr linear verhalten: R_Lampe ≠ konstant! –

Wenn aber der ohmsche Widerstand der Glühlampe 18 wider Erwarten nicht mehr konstant ist, seinen Widerstandswert also mit abnehmender Betriebsspannung fortwährend verringert, dann funktioniert das Ohmsche Gesetz nicht mehr, darf dieses nicht angewendet werden, da sich die Glühlampe 18 nicht mehr linear verhält:

(Bild vergrößern: auf Bild klicken! Webverzeichnis | sketch_prog_12_09.ino)

Der im obenstehenden Bild zu sehende Kurvenverlauf I_R1+R2 = f (U_R1+R2) = 1 / R_Sp.teiler U_R1+R2 bezieht sich auf den unbelasteten Spannungsteiler, der aus zwei in Reihe geschalteten Glühlampen 18 besteht.

Wie man anhand des Steigungsdreiecks sieht, verläuft der Anstieg der Spannung im Bereich von [ 1,98 V … 4,85 V ] und im Bereich der Stromstärke von [ 119,05 mA … 171,14 mA ] nahezu linear, so dass sich der Steigungswiderstand wie folgt berechnen lässt:

R_Steigung = ∆U_Steigung / ∆I_Steigung

= ( 4,85 V - 1,98 V ) / ( 171,14 mA - 119,05 mA )

= 2,87 V / 52,09 mA = 0,055097 kΩ = 55,097 Ω ≈ 55,1 Ω

Dabei gilt es zu beachten, dass der Steigungswiderstand R_Steigung nicht dem Gesamtwiderstand R_{Lampe 1} + R_{Lampe 2} des unbelasteten Spannungsteilers entspricht, sondern vielmehr dem der zugehörigen Geradengleichung:

I_Sp.teiler = 1 / R_Steigung * U_Sp.teiler + I₀ → nach I₀ auflösen!

I₀ = I_Sp.teiler - 1 / R_Steigung * U_Sp.teiler

= 171,14 mA - 1 / 55,1 Ω * 4,85 V = 0,171 A - 0,088 A = 0,083 A = 83 mA

I_Sp.teiler = 1 / R_Steigung * U_Sp.teiler + I₀

= 1 / 55,1 Ω * 4,85 V + 0,083 A = 88,022 mA + 83 mA = 171,02 mA

(Bild vergrößern: auf Bild klicken! Webverzeichnis | sketch_prog_12_11.ino)

Mit der mathematischen Geradengleichung bzw. der elektrotechnischen Widerstandsgeraden (siehe oben)

I_Sp.teiler = 1 / R_Steigung * U_Sp.teiler + I₀ → Achtung! Gilt nur im linearen Spannungsbereich [ 1,98 V … 4,85 V ]

R_Steigung = ∆U_Steigung / ∆I_Steigung

I₀ = I_Sp.teiler - 1 / R_Steigung * U_Sp.teiler

lässt sich die Stromstärke I_R1+R2 = I_Sp.teiler durch den unbelasteten Spannungsteiler für jede Spannung U_Sp.teiler = U_Batterie bzw. U_Betrieb im Bereich [ 1,98 V … 4,85 V ] berechnen, da sich zwei in Reihe geschalteten Glühlampen 18 nur in diesem Bereich linear verhalten (siehe Steigungsdreieck). -

Praktische Bedeutung der Strom-Spannungs-Kennlinie I = f(U)

Mittels der obenstehenden Wertetabelle ist es uns möglich, die Strom-Spannungs-Kennlinie des unbelasteten Spannungsteilers mit I_Sp.teiler = f(U_Sp.teiler) zu zeichnen (siehe oben) und mittels des Quotienten ∆U_Steigung / ∆I_Steigung das Steigungsdreieck in Form des Steigungswiderstandes R_Steigung = ∆U_Steigung / ∆I_Steigung = 55,1 Ω zu berechnen (siehe weiter oben).

Mit dem Steigungswiderstand R_Steigung = 55,1 Ω und der Geradengleichung I_Sp.teiler = 1 / R_Steigung * U_Sp.teiler + I₀ ließ sich dann wiederum der Konstantstrom I₀ = 83 mA, d.h. die Parallelverschiebung des Steigungsdreiecks aus dem Koordinatenursprung heraus, berechnen!

Demzufolge lässt sich also nun der unbelastete Spannungsteiler mittels der

· Geradengleichung I_Sp.teiler = 1 / R_Steigung * U_Sp.teiler + I₀

· im Spannungsbereich [ 1,98 V … 4,85 V ]

· wegen der vorherrschenden Linearität

jederzeit berechnen und auch programmieren! Das was sich dabei programmieren lässt ist der lineare Spannungsbereich [ 1,98 V … 4,85 V ] des Spannungsteilers. Genau genommen der untere Spannungswert U_R1+R2 < 2,0 V ab dem das nichtlineare Verhalten der beiden in Reihe geschalteten Glühlampen 18 beginnt und der obere Spannungswert U_R1+R2 > 4,85 V, damit bei einer noch höheren Betriebsspannung der Laststrom von I_R1+R2 < 171,14 mA nicht überschritten wird. Demzufolge können wir also zwei Alarme programmieren und zwar einen als Alarm für das Eintreten in den nichtlinearen Bereich und einen weiteren für das Überschreiten des max. Laststroms, wenn der Spannungswert U_R1+R2 > 4,85 V überschritten wird.

In diesem Zusammenhang schalten wir einen Verbraucher parallel zur zweiten Glühlampen 18 mit dem Widerstand R_{Lampe 2} = 14,18 Ω und führen mit dem „Skretch“-Programm „sketch_prog_12_09.ino“ zwei Messungen durch. Und zwar mit dem

1. unbelasteten Spannungsteiler ohne den parallel geschalteten Verbraucher und

2. belasteten Spannungsteiler und mit dem parallel geschalteten Verbraucher,

den wir im Moment noch nicht kennen und deshalb erst noch berechnen müssen:

(Bild vergrößern: auf Bild klicken! Webverzeichnis | sketch_prog_12_09.ino)

Bei der ersten Messung zur Berechnung des Widerstandes R_{Lampe 2} = 13,27 Ω haben wir es noch mit einem unbelasteten Spannungsteiler zu tun, während es sich bei der zweiten wegen des Zuschaltens des neuen Verbrauchers R_Last dann schon um einen belasteten Spannungsteiler handelt, sodass es sich bei dem gemessenen und berechneten Widerstandes R_{Lampe 2} nun um den Parallelwiderstand R_Parallel des Stromteilers R_Parallel = R_{Lampe 2} // R_Last = 11,78 Ω handelt:

R_Last / R_Parallel = I_Parallel / I_Last ← Stromteilerformel!

R_Last = I_Parallel / I_Last * R_Parallel

= I_Parallel / ( I_Parallel - I_{Lampe 2} ) * R_Parallel

Nebenrechnung für I_{Lampe 2}:

Wir rechnen mit der Stromteilerformel, weil wir es bei der zweiten Messung <r2> mit einem belasteten Spannungsteiler zu tun haben! Demzufolge entspricht die Stromstärke der Glühlamp 18 nicht mehr der aus der ersten Messung <r2> mit I_{Lampe 2} ≠ 171,14 mA, sodass wir die Stromstärke der Glühlamp 18 wegen U_Parallel = 2,1 V ≠ U_{Lampe 2} = 2,27 V wie folgt neu berechnen müssen:

I_{Lampe 2} = U_Parallel / R_{Lampe 2}

= 2,1 V / 13,27 Ω = 0,15825 A = 158,25 mA

Für den verbleibenden Laststrom I_Last folgt demzufolge:

I_Last = I_Parallel - I_{Lampe 2} = 178,58 mA - 158,25 mA = 20,33 mA

R_Last = I_Parallel / ( I_Parallel - I_{Lampe 2} ) * R_Parallel → Zähler und Nenner durch I_Parallel kürzen!

= 1 / ( 1 - I_{Lampe 2} / I_Parallel ) * R_Parallel

= 1 / ( 1 - 158,25 mA / 178,58 mA ) * 11,78 Ω = 1 / ( 1 - 0,8862 ) * 11,78 Ω

= 1 / 0,1138 * 11,78 Ω = 103,52 Ω

Probe:

I_Last = U_Parallel / R_Last = 2,10 V / 103,52 Ω = 0,02029 A = 20,3 mA

So, jetzt wissen wir, dass der zugeschaltete Verbraucher einen Lastwiderstand von R_Last = 103,52 Ω hat und bei einer Spannung von U_Parallel = 2,10 V einen Laststrom von I_Last = 20,3 mA zieht.

Im Zusammenhang mit der max. zur Verfügung stehenden Versorgungsspannung des „Arduino UNO“ von U_{Pin 5V} = 5 V stellt sich die Frage, wie groß dabei der Laststrom I_Last des zugeschalteten Verbraucher werden kann, vorausgesetzt, dass sich der Verbraucher als rein ohmscher Verbraucher mit linearem Kennlinienverlauf verhält:

I_Last = U_{Pin 5V} / R_Last = 5,0 V / 103,52 Ω = 0,0483 A = 48,3 mA

Apropos Kennlinienverlauf, schauen wir uns diesen doch einfach mal an:

(Zum Vergrößern bitte auf das Bild klicken!)

Wie man im obenstehenden Kennlinienverlauf sieht, handelt es sich bei diesem um eine Strom-Spannungs-Kennlinie mit I = f(U). Während es sich bei der waagrechten Spannungsachse um eine solche mit gleichmäßiger, d.h. linearer Werteeinteilung handelt, scheint es sich bei der senkrechten Stromachse rechts nur um einen Ausschnitt zu handeln:

(Zum Vergrößern bitte auf das Bild klicken!)

In diesem Zusammenhang lässt sich der Steigungswiderstand R_Steigung des Steigungsdreiecks wie folgt berechnen:

R_Steigung = ∆U_Steigung / ∆I_Steigung = ( 9 V - 4,87 V ) / ( 25 mA - 20 mA ) = 4,13 V / 5 mA = 0,826 kΩ = 826 Ω

Dabei verhält es sich so, dass die Geradengleichung sowohl für den Punkt P₁ als auch für den Punkt P₂ des Steigungsdreiecks wie folgt berechnen lässt:

I_Last = 1 / R_Steigung * U_Last + I₀ →

I₀ = I_Last - 1 / R_Steigung * U_Last

Für den Punkt P₂ ( 9 V / 25 mA ) folgt durch Einsetzen

I₀ = 25 mA - 1 / 826 Ω * 9 V = 25 mA - 10,896 mA = 14,10 mA

und für den Punkt P₁ ( 4,87 V / 20 mA ) folgt ebenfalls durch Einsetzen:

I₀ = 20 mA - 1 / 826 Ω * 4,87 V = 20 mA - 5,896 mA = 14,10 mA

Jetzt wo wir den Konstantstrom I₀ des Steigungsdreiecks(!) berechnet haben, können wir diesen in die Geradengleichung einsetzen!

Dabei gilt es zu beachten, dass es den Konstantstrom I₀ nur rechnerisch gibt, da es in Wirklichkeit keine entsprechende Konstantstromquelle gibt, dieser aber als Maß für die Parallelverschiebung des Steigungsdreiecks aus dem Ursprung des Koordinatensystems dient.

Da die vermutlich nur abschnittsweise linear verlaufende Strom-Spannungs-Kennlinie I = f(U) und das Steigungsdreieck das ohmsche Verhalten des abschnittsweise linearen Lastwiderstandes R_Last grafisch und mathematisch beschreiben, ist der rechnerische Konstantstrom I₀ sozusagen das Bindeglied zwischen Steigungsdreieck und der Geradengleichung, sodass sich für den

Punkt P₂ ( 9 V / 25 mA )

die Geradengleichung wie folgt aufstellen lässt:

I_Last = 1 / R_Steigung * U_Last + I₀

= 1 / 826 Ω * 9 V + 14,10 mA = 10,9 mA + 14,10 mA = 25,00 mA

Und für den Punkt P₁ ( 4,87 V / 20 mA ) folgt:

I_Last = 1 / R_Steigung * U_Last + I₀

= 1 / 826 Ω * 4,87 V + 14,10 mA = 5,9 mA + 14,10 mA = 20,00 mA

Da die Geradengleichung für unendlich viele Werte auf der linear verlaufenden Strom-Spannungs-Kennlinie gilt, gilt diese auch für die Spannung U_Parallel = U_Last am Stromteiler des belasteten Spannungsteilers:

I_Last = 1 / R_Steigung * U_Last + I₀

I_Last = 1 / R_Steigung * U_Last + 1 / R_Steigung * U₀ → mit U₀ = R_Steigung * I₀ = 826 Ω * 14,10 mA = 11,65 V

I_Last = 1 / R_Steigung * U_Last + 1 / R_Steigung * U₀

= 1 / 826 Ω * 2,10 V + 1 / 826 Ω * 11,65 V

= 2,542 mA + 14,104 mA = 16,65 mA → Steigungsdreieck!

Nebenrechnung mit Dreisatz, d.h. Linearität vorausgesetzt:

13,75 V → 826 Ω

2,1 V → x Ω

x = 826 Ω / 13,75 V * 2,1 V = 126,2 Ω

Jetzt haben wir den ursprünglichen Steigungswiderstand R_Steigung = 826 Ω des Steigungsdreiecks in den Lastwiderstand R_Last = 126,2 Ω des Steigungsdreiecks der Geradengleichung mit I₀ = 0 umgerechnet:

I_Last = 1 / 126,2 Ω * 2,10 V = 0,01664 A = 16,64 mA

Jetzt wissen wir, dass sich der Konstantstrom mit I₀ = 14,10 mA, der ja für die Parallelverschiebung des Steigungsdreiecks aus dem Ursprung des Koordinatensystems maßgeblich ist, mittels des Ohmschen Gesetzes bzw. der Dreisatzrechnung in eine äquivalente, d.h. vergleichbare, gleichbedeutende Konstant- bzw. Festspannung umrechnen lässt, sodass man letztlich den Steigungswiderstand für die Widerstandsgerade ohne Parallelverschiebung des Lastwiderstandes mit R_Last = 126,2 Ω erhält.

Demzufolge wissen wir jetzt auch, dass sich eine (rechnerische) Konstantstromquelle mit I₀ jederzeit in eine ebenso (rechnerische) Konstantspannungsquelle mit U₀ umrechnen lässt, die letztlich wiederum in dem Lastwiderstand mit R_Last = 103,52 Ω aufgeht, quasi verschwindet.

Da der „Arduino UNO“ als Einplatinenrechner mit dem „ATmega“-Mikrocontroller 328P an den I/O-Pins ( = Input-/Ouput-Pins), d.h. an den sechs

1. analogen Ports „Pin A0“ bis „Pin A5“,
die sich als Eingangs- oder Ausgangs-Ports betreiben lassen,

2. digitalen Ports „PWM ^~3, ^~5, ^~6“ sowie „PWM ^~9, ^~10, ^~11“,
die sich ausgangsseitig mittels Pulsweitenmodulation steuern lassen oder

3. digitalen Ports „Pin 2, 4, 7“ sowie „Pin 8, 12, 13“,
die sich nur digital ein- oder ausschalten lassen,

bei einer Ausgangsspannung von U_{Pin, out} = 5 V nur über eine max. Ausgangsstromstärke von I_{Pin, out} = 20 mA verfügt, dürfte man den umgerechneten Lastwiderstand R_Last = 126,2 Ω nur mit einer Betriebsspannung von U_Last = 2,52 V betreiben,

U_Last = I_Last * R_Last

= 0,020 A * 126,2 Ω = 2,524 V

da die Stromstärke bei einer Betriebsspannung von U_Last = 5,0 V bereits auf

I_Last = U_Last \ R_Last

= 1 / 126,2 Ω * 5,0 V = 0,03962 A = 39,62 mA

ansteigt! Dies würde dann dazu führen, dass der entsprechende Ausgangs-Port überlastet und zerstört würde! -

Wenden wir uns zum Vergleich nochmals der bisherigen Berechnung mit dem belasteten Spannungsteiler und dem zugeschalteten Lastwiderstand nebst der Stromteilerformel zu (siehe weiter oben):

I_Last = U_Last / R_Last = U_Parallel / R_Last

= 2,10 V / 103,52 Ω = 0,02029 A = 20,3 mA ( + 22 % im Vergleich zu I_Last = 16,64 mA mit R_Last = 126,2 Ω)

Demzufolge würde die Stromstärke bei einer Betriebsspannung von U_Last = U_Parallel = 5,0 V auf

I_Last = U_Parallel / R_Last

= 5,0 V / 103,52 Ω = 0,0482998 A = 48,3 mA

ansteigen und den entsprechenden Ausgangs-Port überlasten und zerstören!

In diesem Zusammenhang gilt es noch zu klären, weshalb es bei der

· Berechnung des Steigungswiderstandes mit R_Steigung = R_Last = 126,2 Ω
ohne Parallelverschiebung und der

· Berechnung des belasteten Spannungsteilers mit Stromteilerformel
und dem Lastwiderstand mit R_Last = 103,52 Ω zu einer Abweichung beim Laststrom von + 22 % kommt.

Ganz einfach! Während die Berechnung des Steigungswiderstandes mit R_Steigung = R_Last = 126,2 Ω auf der linear verlaufenden Strom-Spannungs-Kennlinie, d.h. der Kennlinie des Herstellers, beruht, haben wir es bei der Berechnung des Lastwiderstandes mit R_Last = 103,52 Ω mit dem belasteten Spannungsteiler und dem Stromteiler mit der Stromteilerformel zu tun!

Der belastete Spannungsteiler mit dem Lastwiderstand R_Last = 103,52 Ω als Stromteiler ist nämlich nicht nur ein etwas komplexes Gebilde, elektrotechnisch gesehen, sondern arbeitet quasi auch als Übersetzer von eingangsseitigen Spannungsänderungen beim belasteten Spannungsteiler in entsprechende ausgangsseitige Stromänderungen beim Stromteiler.

Der Knackpunkt bei der linear verlaufenden Strom-Spannungs-Kennlinie des Herstellers ist nun der, dass die Kennlinie abrupt bei 4,0 V startet, und wir nicht wissen, ob die Kennlinie im Bereich [ 0 V … 4 V ] ebenfalls linear verläuft und demzufolge bis hin zum Schnittpunkt mit der y-Achse (= Stromstärke-Achse) verlängert oder eben nicht verlängert werden darf! -

Seitens des Herstellers unseres speziellen Lastwiderstandes R_Last findet man auf dem technischen Datenblatt, engl. „Technical datasheet“ nicht nur den Kennlinienverlauf mit der Strom-Spannungs-Kennlinie I = f(U) (siehe oben), sondern auch noch weitere Spezifikationen

(Zum Vergrößern bitte auf das Bild klicken!)

wie z.B. die engl. „Max. Rated Current“-Angabe, d.h. den maximalen Nennstrom von I_{Last, Nenn} = 30 mA bei einer Nenn-Betriebsspannung von U_{Last, Nenn} = 5 V, sodass sich daraus der Lastwiderstand wie folgt berechnet:

R_Last = U_{Last, Nenn} / I_{Last, Nenn}

= 5 V / 30 mA = 5 V / 0,030 A = 166,67 Ω

Bei einer Spannung von U_Parallel = U_Last = 2,10 V am Stromteiler des belasteten Spannungsteilers berechnet sich dann der Laststrom durch den Lastwiderstand R_Last = 166,67 Ω wie folgt:

I_Last = 1 / R_Last * U_Last + I₀ → mit I₀ = 0

= 1 / 166,67 Ω * 2,10 V = 0,0126 A = 12,6 mA → Richtig gerechnet und trotzdem falsch?

So wie man in der Elektrotechnik mit einem Multimeter bzw. Vielfachmessinstrument viel messen kann und dabei irgendwann auch mal Mist misst („Wer viel misst, misst Mist!“), lassen sich viele Dinge richtig, d.h. mathematisch, rechnerisch richtig berechnen, obwohl die Rechnung im Ergebnis dann trotzdem falsch ist bzw. falsch sein kann, weil man ohne es zu merken von falschen Annahmen oder Voraussetzungen ausgegangen ist!

Da die Berechnung des Lastwiderstand R_Last = 166,67 Ω auf den Angaben der Nennspannung und des Nennstroms beruhen, ist die Berechnung auch nur für eben diese zutreffend, d.h. nicht nur rechnerisch richtig, sondern auch logisch zutreffend im Sinne der Elektrotechnik gemäß des Ohmschen Gesetzes.

Demzufolge ist die Berechnung der Stromstärke I_Last = 12,6 mA des Lastwiderstandes R_Last = 166,67 Ω für die Betriebsspannung von U_Parallel = U_Last = 2,10 V am Stromteiler des belasteten Spannungsteilers nur dann elektrotechnisch zutreffend, wenn die Strom-Spannungs-Kennlinie des Lastwiderstandes nicht abrupt bei 4,0 V endet, sondern sich im Bereich [ 0 V … 4 V ] linear fortsetzt!

Da die Stromstärkemessung mit dem Multimeter (= Vielfachmessinstrument) die Stromstärke von 13 mA bestätigte, scheint sich die Strom-Spannungs-Kennlinie des Lastwiderstandes bis hinab zu 2,10 V und darüber hinaus linear fortzusetzen! -

Aber mittels der Angaben des Herstellers zur Nenn-Betriebsspannung von U_{Last, Nenn} = 5 V, des Nennstroms von I_Last, Nenn = 30 mA und des Lastwiderstandes R_Last = 166,67 Ω sowie des berechneten und bestätigten Laststromes von I_Last = 12,6 mA bei U_Last = 2,10 V mit ebenfalls R_Last = 166,67 Ω wissen wir zumindest schon mal in welchen Größenordnungen sich Spannung, Stromstärke und Lastwiderstand bewegen! -

So, nun wird es aber Zeit, dass wir das Geheimnis um den Lastwiderstand als Bauteil lüften!

Wie man im nachfolgenden Bild sieht (siehe hellgrüner Kreis), handelt es sich bei dem zum Stromteiler parallel geschalteten Lastwiderstand R_Last um den Summer 10,

(Zum Vergrößern bitte auf das Bild klicken!)

der z.B. im Elektronikhandel unter dem Namen „Piezo-Signalgeber“ vertrieben wird. Dort findet sich auch der Link zum entsprechenden Datenblatt als PDF-Datei.

>> Ein Summer – auch Buzzer (entlehnt aus dem englischen buzzer, für „Summer“) oder Pieper^[1] genannt – ist ein elektrisch angesteuerter Akustik-Signalgeber, der einen Summ- oder (je nach Tonhöhe) auch Piepton erzeugen kann.

Manche dieser Signalgeber arbeiten elektromagnetisch, andere, höher tönende Geber bestehen aus einem Piezoschallwandler.

Elektromagnetisch arbeitende Summer verwenden entweder eine netzfrequente Wechselspannung mit einer darauf abgestimmten Membran oder sie arbeiten nach dem Prinzip des Wagnerschen Hammers wie eine Hupe.

Piezoschallwandler werden durch eine Wechselspannung im Bereich von 10 Volt bis über 100 V angesteuert und können in einem sehr engen Frequenzbereich laute Töne abgeben. Der Wandler stellt dabei eine elektrische Kapazität im Bereich von 100 nF dar und bedarf zur Ansteuerung entsprechender elektronischer Treiber. Die Wandler werden meist zur akustischen Signalisierung eingesetzt; sie sind auf Grund des engen Wiedergabe-Frequenzbereiches kaum zur Sprach- oder Musikwiedergabe geeignet.

Bis in die 1990er Jahre wurden solche Schallwandler in elektronischen Spielkonsolen sowie in Personal Computern verwendet, wo sie später mehr und mehr durch den Systemlautsprecher ersetzt wurden. Sie fanden und finden zudem in Bereichen Anwendung, in denen preiswert laute Töne erzeugt werden müssen, wie beispielsweise als elektronisches Läutwerk in Festnetztelefonen, als Signaltongeber in Mikrowellenherden oder als Signalhorn zur Gefahrenwarnung in der Industrie-Automatisierung.

Der Begriff „Buzzer“ wurde ursprünglich wohl in Fernseh-Spielsendungen – und davon abgeleitet auch im Spiel Buzz! – verwendet, in denen anfänglich noch Notausschalter verwendet wurden, mit denen zum Beispiel ein Spieler das Antwortrecht erhalten oder eine Spielleitung (englisch die Jury) einen Einwand, einen Abbruch oder Ähnliches herbeiführen konnte. Beim Betätigen wurde dabei meist ein kurzer und sehr lauter Summton eingespielt. << (Quelle: Wikipedia)

Die elektronische Schaltung eines Summers mit Piezoschallwandler kann man sich [ hier ] anschauen. Interessant dabei ist, dass die Spannungsversorgung von 3 V bis 18 V reicht und der Stromverbrauch bei 9 V nur 12 mA beträgt.

[ weiter ] zur Programmierung der Programme „sketch_prog_12_11.ino“ und „sketch_prog_12_12.ino“. -

R_Last = 5 V / 0,03 A = 166,67 Ω (… aus dem Datenblatt)

I_Last = U_Parallel / R_Last = 2,10 V / 166,67 Ω = 0,0126 A = 12,6 mA (gemessen: 13 mA !!!)

Stromquelle mit PNP-Transistor:

http://www.electronicsplanet.ch/elektronik/stromquelle-mit-pnp-transistor/stromquelle-mit-pnp-transistor.php

Belasteter Spannungsteiler berechnen:

http://www.electronicsplanet.ch/Spannungsteiler/spannungsteiler-belastet-berechnen.php

[ Easy Elektro Start ] [ Seitenanfang ] [ Programmieren 12 ] [ Versuch 1 ] [ Versuch 9 ]